什么是正定矩陣 什么是對稱正定矩陣
什么事正定矩陣？正定矩陣的性質(zhì)有哪些？什么是矩陣的正定和負定？什么是正定矩陣？什么是正定矩陣，正交矩陣？什么是正定矩陣？什么是對稱正定矩陣？
本文導(dǎo)航
正定矩陣性質(zhì)及判定方法
對于對稱矩陣A,若對任意非零向量x，都有x*AX>0成立，則稱A為正定。
如果A是正定矩陣，那么a[i][i]一定大于0。因為，a[i][i]=ei*Aei>0.
其中，ei為第i個單位向量。
矩陣正定的必要條件
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設(shè)有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應(yīng)的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令A(yù)為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱A正定（半正定）矩陣；反之，令A(yù)為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱A負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數(shù)。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
這就證明了A正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特征值全部非負。
2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。
證明：A正定
二次型 正定
A的正慣性指數(shù)為n
3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使
令 則
令 則
反之，
∴A正定。
同理可證A為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定
∴ 是正定二次型
現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個數(shù)為1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩陣C ，使
5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大于零。
證明：必要性：
設(shè)二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，
現(xiàn)證 是一個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數(shù) ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即
即A的順序主子式全大于零。
充分性：
對n作數(shù)學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設(shè)對n-1元實二次型結(jié)論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。
令 ， ，
∴A可分塊寫成
∵A的順序主子式全大于零
∴ 的順序主子式也全大于零
由歸納假設(shè)， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然
即A合同于E ，
∴A是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數(shù)為n。
2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。
3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足
，
即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。
由于A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。
2． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。
3． n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ， ， ，
但A并不是半正定的。
關(guān)于半負定也有類似的定理，這里不再寫出。
什么是對稱正定矩陣
在線性代數(shù)里，正定矩陣有時會簡稱為正定陣。在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質(zhì)類似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應(yīng)的線性算子是對稱正定雙線性形式（復(fù)域中則對應(yīng)埃爾米特正定雙線性形式）。
廣義定義：設(shè)M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT;表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M為正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）
狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對于所有的非零實系數(shù)向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉(zhuǎn)置。
擴展資料：判定的方法
根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負數(shù)，則A為負定的。
（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階為正，則A為負定的。
正定矩陣相減是正定矩陣嗎
在線性代數(shù)里，正定矩陣 (positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質(zhì)類似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應(yīng)的線性算子是對稱正定雙線性形式（復(fù)域中則對應(yīng)埃爾米特正定雙線性形式）。
如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實數(shù)矩陣，但這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，所以對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。
擴展資料正交矩陣不一定是正定矩陣
舉反例：
A=-E，是正交矩陣，但不是正定矩陣。
正定矩陣也不一定是正交矩陣。
矩陣正定的前提是對稱陣，而正交矩陣不一定是對稱陣。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算。對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請參考《矩陣理論》。在天體物理、量子力學等領(lǐng)域，也會出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
參考資料：百度百科-正交矩陣
參考資料：百度百科-正定矩陣
正定矩陣是不是一定是對稱矩陣
對稱正定矩陣的性質(zhì)定理
在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質(zhì)類似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應(yīng)的線性算子是對稱正定雙線性形式。
正定矩陣的行列式恒為正；實對稱矩陣A正定當且僅當A與單位矩陣合同；若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；兩個正定矩陣的和是正定矩陣；正實數(shù)與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
擴展資料：
對于n階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：A是正定矩陣；A的一切順序主子式均為正；A的一切主子式均為正；A的特征值均為正。
對于具體的實對稱矩陣，常用矩陣的各階順序主子式是否大于零來判斷其正定性；對于抽象的矩陣，由給定矩陣的正定性，利用標準型，特征值及充分必要條件來證相關(guān)矩陣的正定性。
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