矩陣秩的性質(zhì)有哪些 2階分塊矩陣的秩怎么計(jì)算

關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)，矩陣的秩的性質(zhì)，秩的性質(zhì)，矩陣秩的性質(zhì)，矩陣的秩表現(xiàn)了矩陣的什么特性？分塊矩陣秩的性質(zhì)。

本文導(dǎo)航

• 矩陣的秩與值的關(guān)系
• 矩陣的秩的運(yùn)算方法
• 秩怎么求例題
• 矩陣的秩計(jì)算公式
• 矩陣的秩和它的行列式的關(guān)系
• 2階分塊矩陣的秩怎么計(jì)算

矩陣的秩與值的關(guān)系

最后要證明的是秩相等，也就是等號(hào)成立，但到目前（也就是你問(wèn)的地方）為止還沒(méi)有完全證出來(lái)，只是證明了R(B)>=r，因此后面肯定還要證明R(B)<=r。經(jīng)過(guò)一次第一類或第二類初等變換后，矩陣B有一個(gè)r階子式不為0，因此按秩的定義，只能得到B的秩不會(huì)小于r，至于是否相等，還要看后面的證明。

矩陣的秩的運(yùn)算方法

秩怎么求例題

我們假定 A是在域 F上的 m× n矩陣并描述了上述線性映射。只有零矩陣有秩 0 A的秩最大為 min(m,n) f是單射，當(dāng)且僅當(dāng) A有秩 n（在這種情況下，我們稱 A有“滿列秩”）。f是滿射，當(dāng)且僅當(dāng) A有秩 m（在這種情況下，我們稱 A有“滿行秩”）。在方塊矩陣A（就是 m= n) 的情況下，則 A是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng) A有秩 n（也就是 A有滿秩）。如果 B是任何 n× k矩陣，則 AB的秩最大為 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推廣到若干個(gè)矩陣的情況，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A(yù)、B對(duì)應(yīng)的線性映射分別為 f和 g，則秩（AB)表示復(fù)合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整個(gè)空間的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整個(gè)空間在映射 f作用下的象的一部分。也就是說(shuō)映射 Im f·g是Im f的一部分。對(duì)矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。對(duì)于另一個(gè)不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮 Im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空間 Im f·g，于是 Im f·g的維度小于等于Im g的維度。對(duì)矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干個(gè)矩陣的情況證明類似。作為 < 情況的一個(gè)例子，考慮積 兩個(gè)因子都有秩 1，而這個(gè)積有秩 0。可以看出，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)矩陣（比如說(shuō) A）對(duì)應(yīng)的線性映射不減少空間的維度，即是單射，這時(shí) A是滿秩的。于是有以下性質(zhì)：如果 B是秩 n的 n× k矩陣，則 AB有同 A一樣的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩陣，則 CA有同 A一樣的秩。A的秩等于 r，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可逆 m× m矩陣 X和一個(gè)可逆的 n× n矩陣 Y使得 這里的 Ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過(guò)高斯消去法構(gòu)造性地給出。矩陣的秩加上矩陣的零化度等于矩陣的縱列數(shù)（這就是秩-零化度定理）。

矩陣的秩計(jì)算公式

行滿秩矩陣就是行向量線性無(wú)關(guān)

列滿秩矩陣就是列向量線性無(wú)關(guān)

一個(gè)矩陣的行秩等于列秩,

所以如果是方陣,

行滿秩矩陣與列滿秩矩陣是等價(jià)的.

矩陣的秩和它的行列式的關(guān)系

　矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個(gè)重要概念。

　　設(shè)A是一組向量，定義A的極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)為A的秩。

　　定義1.

在m′n矩陣A中，任意決定k行和k列

(1￡k￡min{m,n})

交叉點(diǎn)上的元素構(gòu)成A的一個(gè)k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。

　　例如，在階梯形矩陣

中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點(diǎn)上的元素所組成的2階子矩陣的行列式

就是矩陣A的一個(gè)2階子式。

　　定義2.

A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A

　　的秩，記作rA，或rankA。

　　特別規(guī)定零矩陣的秩為零。

　　顯然rA≤min(m,n)

易得：

　　若A中至少有一個(gè)r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時(shí)，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。

　　由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣,

det(A)1

0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。

　　由行列式的性質(zhì)1(1.5[4])知，矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的。

低秩說(shuō)明

極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)少或A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)小

2階分塊矩陣的秩怎么計(jì)算

矩陣的秩

在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)。

這是矩陣的秩的定義，但是看上去比較難以理解，因此，我打算從多種矩陣的角度來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題。

我們知道，一般的矩陣是mxn的類型，還有一種就是方陣，方陣就是特殊的矩陣，指的是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，對(duì)于這兩種矩陣而言，矩陣的秩也有著很大的區(qū)別。

對(duì)于方陣(行數(shù)、列數(shù)相等)的A矩陣而言，矩陣的秩就是用R(A)來(lái)表示。

對(duì)于mxn的A矩陣而言，矩陣的秩有多種情況，最大是m和n中的較小的一個(gè)數(shù)值，我們稱盡可能大的秩的矩陣為滿秩，那不滿足的話就被稱為秩不足。

當(dāng)然，這些都是定義，還是要給出實(shí)際的例子才能解釋什么才是矩陣的秩。

我們一般怎么來(lái)計(jì)算矩陣的秩。

通俗的講，就是數(shù)數(shù)，數(shù)矩陣的非零行數(shù)。

矩陣的秩其中有一個(gè)定理，這個(gè)定理需要大家進(jìn)行記憶，初等變換不改變矩陣的秩，根據(jù)這個(gè)定理，我們?cè)谟?jì)算矩陣的秩的時(shí)候就用矩陣的初等行變換將矩陣變成行階梯矩陣，而行階梯矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。

圖一

那么，對(duì)于矩陣的秩有一個(gè)初步的了解之后，我們?cè)賮?lái)研究相應(yīng)的例題。

在研究例題之前，矩陣的秩有幾個(gè)定理需要記憶一下。

1、矩陣進(jìn)行初等變換后是不改變矩陣的秩的，這是我之前舉例子也提到過(guò)的一點(diǎn)。

2、矩陣的行秩、列秩、秩都是相等的，這就意味著你只要求出其中一個(gè)，就能夠知道其他的條件。

3、如果矩陣A可逆的話，矩陣A和它的逆矩陣B相乘得到的矩陣和逆矩陣B的秩相等，反過(guò)來(lái)，即為R(AB)=R(B)。

4、假設(shè)存在兩個(gè)矩陣M和N，由于矩陣相乘得到的新矩陣的行和列都是在矩陣M和N的行和列的范圍內(nèi)的，所以相乘得到的新矩陣的秩是小于等于矩陣M和N的最小值，即為R(AB)<=min{RA,RB}。

5、假設(shè)存在矩陣K，它的列秩等于列n，由于定理2可以得到列秩和秩都為n。

實(shí)際例題

在知道這些定理之后，我們此時(shí)做實(shí)際的例題就會(huì)感覺(jué)到簡(jiǎn)單一些。

圖二

如圖所示，給出一道例題，我們先審題，矩陣A是3x3的方陣，矩陣B是3x2的矩陣(3行2列)

這里讓我們求方程AX=B的解。

在求該方程的解之前，我要先提一提AX=B這類方程是什么。

形如AX=B的這類方程指的是非齊次線性方程組，也就是常數(shù)項(xiàng)不全為零的線性方程組。

再來(lái)看這道題給的提示，系數(shù)矩陣、增廣矩陣和階梯形矩陣。

1、系數(shù)矩陣：方程組的