矩陣什么時候不能對角化 如何判斷矩陣a是否可以對角化

怎樣判斷一個矩陣是否可以對角化？如何判斷一個矩陣是否可對角化？線性代數(shù)給一個矩陣如何判斷能不能對角化？矩陣能不能對角化，為什么二階矩陣秩為一則不可對角化？

本文導航

• 如何判斷矩陣a是否可以對角化
• 判斷矩陣對角化的條件
• 判斷一個矩陣能否對角化的方法
• 判斷矩陣不可對角化
• 怎樣判斷矩陣不可對角化

如何判斷矩陣a是否可以對角化

1°先看是不是實對稱矩陣，如果是可以對角化，如果不是看第二步

2°算矩陣的特征值，如果特征值都不同，則可以對角化，若特征值有重根再看第三步

3°算有重根的特征值對應(yīng)的特征多項式的秩，如果秩等于矩陣的階數(shù)減去重數(shù)，也就是這個公式r(λiE-A)＝n-ni，相等則可對角化，不等則可以判斷該矩陣不能對角化

按上面三步一定可以判斷出，也是做題最節(jié)約時間的步奏

判斷矩陣對角化的條件

1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關(guān)的特征向量;

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k

(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化。

n階單位矩陣的所有特征值都是1，但是它仍然有n個線性無關(guān)的特征向量，因此單位矩陣可以對角化。

擴展資料

相關(guān)推論

1、若

有n個不同的特征值，則A可對角化。因為復數(shù)域上的n次多項式恰有n個根，所以我們還有下面的推論。

2、如果A的特征多項式在復數(shù)域上的根互不相等，那么A作為復數(shù)域上的矩陣一定可以對角化。

3、如果

是

的所有互不相同的特征值，各特征子空間

的基排列如下：

那么上述特征向量組線性無關(guān)，從而特征子空間的和是直和。

參考資料來源：百度百科-對角化

判斷一個矩陣能否對角化的方法

1.所有特征根都不相等，那么不用說，絕對可以對角化

2.有等根，只需要等根（也就是重特征值）對應(yīng)的那幾個特征向量是線性無關(guān)的，那么也可以對角化，如果不是，那么就不能了。

就這些，綜合起來就是書上說的：有n個線性無關(guān)的特征向量??！

這個定理是說，無論多少！只要這些特征向量是線性無關(guān)的，例如3階的有三個，4階的4個，。。。。

n階的特征多項式，就有n個特征向量！

判斷矩陣不可對角化

n階方陣可對角化的充分必要條件是a有n個線性無關(guān)的特征向量

(1)

求特征值

(2)

對每個k重特征值a,

(a-ae)x=0

的基礎(chǔ)解系必須含有k個解向量,

否則a不能對角化

即必須有

r(a-ae)

=

n

-

k.

怎樣判斷矩陣不可對角化

可能可以對角化，詳情如圖所示