積分中值定理怎么求 積分中值定理
積分中值定理是什么？什么是積分中值定理？求詳細(xì)的解釋，最好有圖？積分中值定理該如何證明？積分中值定理，定積分中值定理公式是什么？推廣的積分中值定理公式是什么？
本文導(dǎo)航
積分中值定理的例子
積分中值定理：
若函數(shù) f(x) 在 閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù),，則在積分區(qū)間 [a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)
什么是積分中值定理？求詳細(xì)的解釋，最好有圖
簡(jiǎn)單地看，左邊積分就是f(x)在區(qū)間[a,b]上的面積，可以把它變成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是(b-a),寬是f(c),c是a,b中的一點(diǎn)。這總是可以做到，只要f(x)連續(xù)不斷掉。可以這么想，左邊的積分（其實(shí)就是求面積）是一塊橡皮泥，長(zhǎng)是b-a，寬不定，我可以把它修修整整，變成一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方形。記住前提它連續(xù)。
積分中值定理該如何證明？
積分中值定理的證明方法：
設(shè) ;（x）在;;上連續(xù)，且最大值為;;，最小值為;;，最大值和最小值可相等。
由估值定理可得
同除以（b-a）從而
由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，必定，使得;;，即：
命題得證。
積分中值定理
分為”積分第一中值定理“和”積分第二中值定理“，它們各包含兩個(gè)公式。其中，積分第二中值定理還包含三個(gè)常用的推論。
積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值， 或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。
積分中值定理
積分中值定理，是一種數(shù)學(xué)定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。其中，積分第二中值定理還包含三個(gè)常用的推論。
積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值， 或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。
積分中值定理證明詳細(xì)
積分中值定理：f(x)在a到b上的積分等于(a-b)f(c)，其中c滿足a<c<b。
如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 [a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，使下式成立
其中(a≤ξ≤b)。
積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值， 或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。
擴(kuò)展資料：
積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉，或者使復(fù)雜的被積函數(shù)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的被積函數(shù)，從而使問題簡(jiǎn)化。
因此，對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式，或者要證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時(shí)，一般應(yīng)考慮使用積分中值定理， 去掉積分號(hào)，或者化簡(jiǎn)被積函數(shù)。
推廣的積分中值定理公式是什么？
積分中值定理，是一種數(shù)學(xué)定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。其中，積分第二中值定理還包含三個(gè)常用的推論。
積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值， 或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。
不等式證明
積分不等式是指不等式中含有兩個(gè)以上積分的不等式,當(dāng)積分區(qū)間相同時(shí),先合并同一積分區(qū)間上的不同積分,根據(jù)被積函數(shù)所滿足的條件,靈靈活運(yùn)用積分中值定理,以達(dá)到證明不等式成立的目的。
在證明定積分不等式時(shí), 常?？紤]運(yùn)用積分中值定理, 以便去掉積分符號(hào), 如果被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí), 可考慮用積分第一或者第二中值定理。
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