怎么判斷相似對角化 怎么判斷一個矩陣和對角矩陣相似

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本文導航

• 如何判斷一個矩陣是否可對角化
• 怎樣判斷矩陣是否能對角化
• 關(guān)于矩陣可相似對角化條件的判定的疑問
• 怎么判斷一個矩陣能不能相似對角化？
• 怎么判斷一個矩陣和對角矩陣相似
• 如何判斷一個矩陣相似于對角矩陣

如何判斷一個矩陣是否可對角化

n級矩陣A可對角化＜=＞A的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n.

實際判斷方法：（1）先求特征值,如果沒有相重的特征值,一定可對角化；

（2）如果有相重的特征值λk,其重數(shù)為k,那么你通過解方程（λkE-A）X=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個,則A可對角化,若小于k,則A不可對角化.

此外,實對稱矩陣一定可對角化.

你可以對照課本上的例題或習題.

怎樣判斷矩陣是否能對角化

將矩陣A的特征多項式完全分解,求出A的特征值及其重數(shù)

若k重特征值都有k個線性無關(guān)的特征向量,則A可對角化.

否則不能角化.

實對稱矩陣總可對角化,且可正交對角化

關(guān)于矩陣可相似對角化條件的判定的疑問

n階方陣可進行對角化的充分必要條件是：

1.n階方陣存在n個線性無關(guān)的特征向量

推論：如果這個n階方陣有n個不同的特征值,那么矩陣必然存在相似矩陣

2.如果階n方陣存在重復的特征值,每個特征值的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)恰好等于該特征值的重 復次數(shù)現(xiàn)在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎么來的.

在矩陣的特征問題中,特征向量有一個很好的性質(zhì),即Aa=λa.

假設(shè)一種特殊的情形,A有n個不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩陣P=[a1 a2 ... an]

這樣以來AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是對角陣.

B＝

λ1 0 0 ...

0 λ2 0 ...

... ... ... ...

0 0 0 λn

由于不同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的,那么P是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是A＝P*B*P-1 ,這也就是A相似與對角陣B定義了.在這個過程中,A要能對角化有兩點很重要：

P是怎么構(gòu)成的?P由n個線性無關(guān)的向量組成,并且向量來自A的特征向量空間.

P要滿足可逆.什么情況下P可逆?

矩陣可對角化的條件,其實就是在問什么情況下P可逆?

如果A由n個不同的特征值,1個特征值－對應(yīng)1個特征向量,那么就很容易找到n個線性無關(guān)的特征向量,讓他們組成P；

但是如果A有某個λ是個重根呢?比如λ＝3,是個3重根.我們 知道對應(yīng)的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3個線性無關(guān)的解.如果λ＝3找不到3個線性無關(guān)的解,那么A就不能對角化了,這是因為能讓A對角化的P矩陣不存在.

擴展資料：

設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對角化，就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P，使M=PDP-1。設(shè)f為典范對應(yīng)于M的Kn的自同態(tài)，將M對角化，就是確定Kn的一個基，使在該基中對應(yīng)f的矩陣是對角矩陣。

對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個n×n矩陣;;，如果對于;;，則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣;;使;;的結(jié)果為對角矩陣，則稱矩陣;將矩陣;;對角化。對于一個矩陣來說，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關(guān)的特征向量，則該矩陣可被對角化

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。

數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計算的有效算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結(jié)構(gòu)（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。

無限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函數(shù)的泰勒級數(shù)的導數(shù)算子的矩陣。

主條目：特征值，特征向量

n×n的方塊矩陣A的一個特征值和對應(yīng)特征向量是滿足;;的標量以及非零向量 ;。其中v為特征向量，;;為特征值。

A的所有特征值的全體，叫做A的譜 ，記為;;。矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性

旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，它可以把右手坐標系改變成左手坐標系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合。

旋轉(zhuǎn)矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數(shù)學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。

首先您要先選一些號碼，然后，運用某一種旋轉(zhuǎn)矩陣，將你挑選的數(shù)字填入相應(yīng)位置。如果您選擇的數(shù)字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉(zhuǎn)矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小于復式投注的成本。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學上涉及到的是一種組合設(shè)計：覆蓋設(shè)計。而覆蓋設(shè)計，填裝設(shè)計，斯坦納系，t-設(shè)計都是離散數(shù)學中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。

參考資料：百度百科-矩陣;百度百科-對角化

怎么判斷一個矩陣能不能相似對角化？

可以根據(jù)特征值來判斷

當特征值的個數(shù)跟那個未知數(shù)一樣的時候就是可以相似

還有就是可以根據(jù)那個特征向量來判斷

怎么判斷一個矩陣和對角矩陣相似

①實對稱？→是→√

②不是實對稱→

|A-入E丨=O，入有n個？→是→√

③入不是n個，出現(xiàn)k重根？→是→

R（A-入E）=n-k？→是→√

目前只有以上三種情況

如何判斷一個矩陣相似于對角矩陣

n階矩陣若有n個線性無關(guān)的特征向量，則它相似于對角矩陣。

先求特征值；

求特征值對應(yīng)的特征向量；

現(xiàn)在就可以判斷一個矩陣能否對角化：

若矩陣的n重特征值對應(yīng)n個線性無關(guān)的特征向量，則它可以對角化，否則不可以。

令P=[P1,P2,……,Pn]，其中P1，P2，Pn是特征向量

則P^(-1)AP為對角矩陣，其對角線上的元素為相應(yīng)的特征值。

擴展資料：

對角矩陣可以認為是矩陣中最簡單的一種，值得一提的是：對角線上的元素可以為 0 或其他值，對角線上元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。對角矩陣的運算包括和、差運算、數(shù)乘運算、同階對角陣的乘積運算，且結(jié)果仍為對角陣。

參考資料來源：百度百科-對角矩陣