為什么基礎(chǔ)解系都是列向量 行向量組和列向量組的區(qū)別

為什么基要用列向量來表示，而不用行向量呢？基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)怎么確定？第16題為什么基礎(chǔ)解系由解向量構(gòu)成；它是怎么構(gòu)成的？有沒有誰能把線性代數(shù)基礎(chǔ)解系講的通俗易懂一些 我只能理解通解但是基礎(chǔ)解系就是理解不了是什么意思？已知B是三階非零矩陣，B的每個(gè)列向量都是基礎(chǔ)解系的解向量，基礎(chǔ)解系已求出為1，為什么B必須線性相關(guān)？線性代數(shù)特征向量和基礎(chǔ)解系的區(qū)別，一直分不清有啥聯(lián)系。

本文導(dǎo)航

• 行向量組和列向量組的區(qū)別
• 基礎(chǔ)解系的秩與基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)
• 怎樣判斷基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)
• 講線性代數(shù)通俗易懂的教材最詳細(xì)
• 怎么看矩陣的哪三列向量線性無關(guān)
• 線性代數(shù)特征向量的求法

行向量組和列向量組的區(qū)別

當(dāng)我們考慮向量空間時(shí)，實(shí)際上沒有所謂的“行向量”和“列向量”，這是矩陣才有的概念。當(dāng)寫向量時(shí)，習(xí)慣豎著寫（更容易讀），所以看起來好像是“列”向量了。

基礎(chǔ)解系的秩與基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)

一般地，基礎(chǔ)解系包含列向量的個(gè)數(shù)即方程組所有解（解空間）的最大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)。簡(jiǎn)單直觀地講就是將系數(shù)矩陣A，化為最簡(jiǎn)行階梯矩陣，從前往后看矩陣的每一列，不是0、1的就算一個(gè)。總數(shù)是是n-r(A)個(gè)。由此可見，基礎(chǔ)解系只要：1是方程組的解，2線性無關(guān)，3能表示方程組的其他所有解就可以作為基礎(chǔ)解系。

怎樣判斷基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)

非齊次線性方程組AX=b（I）和齊次線性方程組AX=O（II）的解之間存在密切的關(guān)系，有以下性質(zhì)：

若ξ1，ξ2均為（I）的解，則ξ1-ξ2為（II）的解。

若ξ0為（I）的解，ξ拔為（II）的解，則ξ0+ξ拔為（I）的解。

所以先考慮AX=O的情況。由性質(zhì)1可知，因?yàn)棣?、η2、η3是AX=b的解，所以答案取的η2-η1和η3-η1是AX=O的解。

再考慮基礎(chǔ)解系的選取。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有如下性質(zhì)：

如果n個(gè)未知量的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r，那么這個(gè)齊次線性方程組任意的n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量都構(gòu)成該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

所以這道題有4個(gè)未知量，r(A)=2，只要選取2個(gè)線性無關(guān)的解向量就可以得到這個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系。選取的方法不唯一，比如答案選取了η2-η1和η3-η1，所以AX=O的基礎(chǔ)解系就是k1（η2-η1）+k2（η3-η1）。

最后再結(jié)合性質(zhì)2，加上一個(gè)特解就行，比如答案選取了η1作為特解，所以AX=b的基礎(chǔ)解系就是k1（η2-η1）+k2（η3-η1）+η1。

講線性代數(shù)通俗易懂的教材最詳細(xì)

通解其實(shí)就是一堆的列向量,而基礎(chǔ)解析就是這一堆列向量的最大線性無關(guān)組.所以基礎(chǔ)解系不是唯一的,但是都是線性無關(guān)的,且基礎(chǔ)解系中列相列的個(gè)數(shù)相同,就是秩相同

怎么看矩陣的哪三列向量線性無關(guān)

既然基礎(chǔ)解系的秩為1，當(dāng)然所有的解向量都線性相關(guān)，這是秩的定義啊

線性代數(shù)特征向量的求法

對(duì)于n階矩陣A：特征向量是滿足Aα=λα的列向量，在此，A的秩表示非零特征值的個(gè)數(shù)。

基礎(chǔ)解系是滿足AX=0的列向量，在此，A的秩用來判斷基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)是n-r(A)個(gè)。通過對(duì)比AX=0和Aα=λα，可見，A的齊次解向量正好是A相應(yīng)于λ=0的特征向量。

特征值向量對(duì)于矩陣而言的，特征向量有對(duì)應(yīng)的特征值，如果Ax=ax，則x就是對(duì)應(yīng)于特征值a的特征向量。而解向量是對(duì)于方程組而言的，就是“方程組的解”，是一個(gè)意思。

特征值

描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項(xiàng)式，λ是A的特征值等價(jià)于線性方程組(A – λI) v = 0 有非零解v ，因此等價(jià)于行列式|A – λI|=0。函數(shù)p(λ) = det(A – λI)是λ的多項(xiàng)式，因?yàn)樾辛惺蕉x為一些乘積的和，這就是A的特征多項(xiàng)式。矩陣的特征值也就是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)。

所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此對(duì)于奇數(shù)n，每個(gè)實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。在實(shí)矩陣的情形，對(duì)于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實(shí)數(shù)特征值成共軛對(duì)出現(xiàn)。

以上內(nèi)容參考：百度百科-特征向量