秩為1有什么性質(zhì) 矩陣的秩與特征值個數(shù)有什么關(guān)系
矩陣A的平方等于LA,r(A)=1,則L具有什么性質(zhì)？秩等于1的矩陣都有什么特征？秩為1矩陣有什么性質(zhì)？單位向量是什么，為什么秩為1？一個矩陣的跡和秩都為1,能得出什么結(jié)論？秩等于1的矩陣,它的特征值為什么是這樣的？
本文導(dǎo)航
a乘a的伴隨矩陣等于a的行列式證明
秩為1的矩陣有個特點，就是一定可以寫成一個列向量乘以一個行向量
設(shè)A=αβ’（α，β都是列向量）
則A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’
注意到，(β’α)正好是A的跡tr(A) （把A寫出來很容易看出來）
所以秩為1的矩陣有性質(zhì)：A^2=tr(A)A
知道了這個接下來就好辦了
A^2=LA 其實就是
tr(A)A=LA
L就是這個性質(zhì)唄，即：L對A左作用后得到常數(shù)tr(A)再乘以A這個矩陣
所以L相對于A是一個乘法算子。
A的n次方當然也行啦。。。利用A=αβ’容易知道，A^n=[tr(A)]^(n-1)A
其實和A就相差一個常數(shù)倍，所以是一回事！
知道一個矩陣的秩可以知道什么
行列成比例，可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身
特殊情況 如果該矩陣為方陣 那么必有特征值為（主對角線元素代數(shù)和、還有n-1個0）
矩陣的秩等于常數(shù)意味著什么
設(shè)A是秩為1的n階方陣, 則
1. A可表示為αβ^T, 其中α,β為n維列向量
2. A^k = (α^Tβ)^(k-1)A
3. tr(A)=α^Tβ
4. A的特征值為 α^Tβ,0,0,...,0
注: α^Tβ=β^Tα
單位向量為什么是錯的
單位向量是指模等于1（長度為1）的向量，
單位向量因為只有一個向量（不是向量組），所以必為行向量或列向量，
秩的意思就是最大線性無關(guān)的向量組個數(shù)，行/列向量（非0向量）只有一個向量，所以線性無關(guān)的向量只有一個。所以秩為1
怎么判斷一個矩陣的秩例題
跡為1,說明矩陣的特征值和為1；
秩為1,說明矩陣的任意兩行或兩列都線性相關(guān)；可表示為A=a×b‘ 的形式,其中a,b為列向量； 還可得到 0是n-1重特征值,其中n為矩陣的階數(shù)；
再結(jié)合跡為1的性質(zhì),可得另外一個特征值是1
秩為1的矩陣才有這個性質(zhì),那個6是矩陣主對角線上元素之和 再答： 這樣的矩陣可以表示為一個列向量與一個行向量的乘積
這它的n次冪經(jīng)由結(jié)合律就可得到結(jié)論
、，也就是一個矩陣與另一個矩陣相乘后，新矩陣的秩一定不大于原矩陣。怎么證明呢，結(jié)合線性結(jié)合線性方程組的有解性來進行證明的，AB=C，已經(jīng)說明了AX=C是有解的，而線性方程組的有解性與矩陣的秩的關(guān)系說明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再將此矩陣兩邊轉(zhuǎn)置，再根據(jù)線性方程組的解與矩陣的秩間關(guān)系同理可得A的秩大于等于C的秩.當我們學習了與線性表示有關(guān)的系統(tǒng)性理論后對這個定理會有更直觀的理解。
2、矩陣左乘列滿秩矩陣后新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣，此結(jié)論希望引起大家重視，此結(jié)論就是同濟大學第五版70頁的例9，大家可以參照此過程。
3、給出一個關(guān)于矩陣的秩的一般性的結(jié)論，
矩陣的秩與特征值個數(shù)有什么關(guān)系
按照秩的定義（行/列向量由幾個線性無關(guān)的向量張成），秩等于1的矩陣一定可以寫成A=ab, 其中a，b是列向量。那么所有和b正交的向量都是A的特征值為0的特征向量。行列成比例，可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身。
秩在線性代數(shù)中，一個矩陣的秩是其非零子式的最高階數(shù)，一個向量組的秩則是其最大無關(guān)組所含的向量個數(shù)。
相關(guān)信息：
在解析幾何中，矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關(guān)系。
在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統(tǒng)是否為可控制的（或可觀察的）。
數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計算的有效算法，這是一個已持續(xù)幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。
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