什么是無(wú)界函數(shù) 常見(jiàn)的有界函數(shù)

什么叫有界函數(shù)和無(wú)界函數(shù)？什么是無(wú)界函數(shù)？函數(shù)無(wú)界是什么意思？怎樣證明函數(shù)無(wú)界？函數(shù)無(wú)界的定義是什么？無(wú)界函數(shù)的定義是什么？

本文導(dǎo)航

• 常見(jiàn)的有界函數(shù)
• 怎么判斷是否是無(wú)界函數(shù)
• 無(wú)界函數(shù)定義
• 函數(shù)無(wú)界的判斷
• 函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎
• 無(wú)界函數(shù)的極限都不存在嗎

常見(jiàn)的有界函數(shù)

有界函數(shù)是指有最值，無(wú)界函數(shù)則無(wú)最值。例如。y=x，是無(wú)界函數(shù)。而正弦函數(shù)則是有界函數(shù)。

怎么判斷是否是無(wú)界函數(shù)

無(wú)界函數(shù)的定義：對(duì)任意的M>=0且小于正無(wú)窮，存在x,使得|f(x)|>=M，則f(x)無(wú)界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無(wú)界函數(shù)。 　　1.無(wú)界函數(shù)與無(wú)窮大量?jī)蓚€(gè)概念之間有嚴(yán)格的區(qū)別： 　　無(wú)界函數(shù)的概念是指某個(gè)區(qū)間上的。若對(duì)于任意的正數(shù)，總存在某個(gè)點(diǎn)，使得|f(x)|>=m，則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)。 　　無(wú)窮大量是指在自變量的某個(gè)趨限過(guò)程(例)下因變量的變化趨勢(shì).若對(duì)于任意正數(shù),總存在,對(duì)一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮大量。 　　無(wú)窮大量必是無(wú)界量，無(wú)界量未必是無(wú)窮大量。 　　舉例：有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無(wú)界函數(shù)，但不為無(wú)窮函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)X趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動(dòng)，總有某點(diǎn)Y=0，所以不為無(wú)窮。

無(wú)界函數(shù)定義

就是函數(shù)的上界或下界中，至少有一個(gè)不存在的意思。

無(wú)上界就表示函數(shù)值不會(huì)恒小于任何有限實(shí)數(shù)。

無(wú)下界就表示函數(shù)值不會(huì)恒大于任何有限實(shí)數(shù)。

上界和下界中，只要有一個(gè)沒(méi)有（兩個(gè)都沒(méi)有也可以），這個(gè)函數(shù)就是無(wú)界函數(shù)。

函數(shù)無(wú)界的判斷

反證法：假設(shè)A=a*sina是函數(shù)的上界，即對(duì)(0,+無(wú)窮)上所有實(shí)數(shù)，均有F(x)=xsinx<=A，此時(shí)sina必大于0。但當(dāng)x=a+2π時(shí)，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 。

因?yàn)閍+2π＞a，sina>0，所以F(a+2π）＝（a+2π），＊sina>a*sina=A，因此相矛盾了。所以函數(shù)f（x）為無(wú)界函數(shù)。

無(wú)界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說(shuō)，函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界（或只有下界）；或者既沒(méi)有上界又沒(méi)有下界，稱f(x)在定義域上無(wú)界，在定義域無(wú)界的函數(shù)稱為無(wú)界函數(shù);。

相關(guān)信息

1、有界性

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0，對(duì)于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有｜f（x）｜≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無(wú)界。

2、單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。

函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎

無(wú)界函數(shù)的定義：對(duì)任意的M>=0且小于正無(wú)窮，存在x,使得|f(x)|>=M，則f(x)無(wú)界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無(wú)界函數(shù)。 　

1、無(wú)界函數(shù)與無(wú)窮大量?jī)蓚€(gè)概念之間有嚴(yán)格的區(qū)別： 　　

無(wú)界函數(shù)的概念是指某個(gè)區(qū)間上的。若對(duì)于任意的正數(shù)，總存在某個(gè)點(diǎn)，使得|f(x)|>=m，則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)。 　　

無(wú)窮大量是指在自變量的某個(gè)趨限過(guò)程(例)下因變量的變化趨勢(shì).若對(duì)于任意正數(shù),總存在,對(duì)一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時(shí)的無(wú)窮大量。 　　

無(wú)窮大量必是無(wú)界量，無(wú)界量未必是無(wú)窮大量。 　　

舉例：有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無(wú)界函數(shù)，但不為無(wú)窮函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)X趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動(dòng)，總有某點(diǎn)Y=0，所以不為無(wú)窮。

函數(shù)的值區(qū)別：

無(wú)窮大：函數(shù)的值無(wú)止境的大下去，無(wú)限度地大下去。但是，不可以正負(fù)無(wú)窮大之間波動(dòng)。

有界： 函數(shù)的值在一個(gè)范圍。

無(wú)界： 函數(shù)的值不在任何范圍。

極限： 函數(shù)的值逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”A值就是界限。

無(wú)界函數(shù)的極限都不存在嗎

函數(shù)無(wú)界是指任意G>O，都有x,st,f(x)>G.說(shuō)的是函數(shù)整體性質(zhì)。函數(shù)可以點(diǎn)點(diǎn)取值都有限，但是函數(shù)整體無(wú)界。

無(wú)窮大是在實(shí)直線上補(bǔ)充定義的一個(gè)抽象的數(shù)（（定義了正負(fù)無(wú)窮后成為擴(kuò)充實(shí)直線），x=正無(wú)窮是指x比任意數(shù)都大。在擴(kuò)充實(shí)直線上可以定義和無(wú)窮有關(guān)的運(yùn)算。當(dāng)然函數(shù)可以取值為無(wú)窮。這時(shí)函數(shù)一定是無(wú)界的。

舉例說(shuō)明

有界函數(shù)的圖形必介于兩條平行于x軸的直線y=-M和y=M之間（當(dāng)自變量為x時(shí)），籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)或無(wú)界函數(shù)是不確切的，必須指明所考慮的區(qū)間。

無(wú)界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說(shuō)，函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界(或只有下界)；或者既沒(méi)有上界又沒(méi)有下界，稱f(x)在定義域上無(wú)界，在定義域無(wú)界的函數(shù)稱為無(wú)界函數(shù);。