什么矩陣 一定可對(duì)角化 矩陣可對(duì)角化的判定方法

如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化？為什么實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化？

本文導(dǎo)航

• 怎么判斷矩陣能不能對(duì)角化
• 矩陣可對(duì)角化的判定方法
• 什么樣的矩陣是可對(duì)角化的

怎么判斷矩陣能不能對(duì)角化

矩陣可對(duì)角化的判定方法

如果所有特征根都不相等，絕對(duì)可以對(duì)角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）對(duì)應(yīng)的那幾個(gè)特征向量是線性無關(guān)的，那么也可以對(duì)角化，如果不是,那么就不能了。

矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。

將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。

擴(kuò)展資料：

矩陣在物理學(xué)中的另一類泛應(yīng)用是描述線性耦合調(diào)和系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣的形式來表示。

用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統(tǒng)的解的最優(yōu)方法是將矩陣的特征向量求出（通過對(duì)角化等方式）。

這種求解方式在研究分子內(nèi)部動(dòng)力學(xué)模式時(shí)十分重要：系統(tǒng)內(nèi)部由化學(xué)鍵結(jié)合的原子的振動(dòng)可以表示成簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的疊加 。描述力學(xué)振動(dòng)或電路振蕩時(shí)，也需要使用簡(jiǎn)正模式求解 。

參考資料來源：百度百科-矩陣

什么樣的矩陣是可對(duì)角化的

實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化，因?yàn)橄嗨茖?duì)角化的充要條件是n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，充分條件是A有n個(gè)不同的特征值，而n個(gè)不同的特征值一定對(duì)應(yīng)n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，實(shí)對(duì)稱矩陣n重特征值對(duì)應(yīng)n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化。

擴(kuò)展資料：

實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：

1、實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的。

2、實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。

3、n階實(shí)對(duì)稱矩陣A必可對(duì)角化，且相似對(duì)角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值，必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。