什么時候要單位化 線性代數的正交公式
二次型化為標準型什么時候需要單位化？求可逆矩陣P的時候，什么情況要單位化，什么時候不用？為什么要單位化？線性代數 由二次型化為標準型,什么情況需要單位化正交化,什么時候不用?謝謝!？特征向量什么時候需要單位化？求助 什么情況需要單位化什么時候正交化？
本文導航
二次型化為規(guī)范型步驟
用特征值特征向量方法求標準形時, 需變換是正交變換
所以要把構成矩陣P的特征向量正交化和單位化
求二次型矩陣要不要單位化
我覺得是，題目要求正交矩陣的時候才要正交化單位化（一般是求實對稱矩陣的正交變換化為對角形的時候），如果題目只要求可逆矩陣P的時候就不需要。
什么是基礎解系的單位化
終于想起來原因了，樓主，你的情況我也出現過。在樓主眼里，n個n維正交向量組組成的矩陣必為正交陣。其實不然，正交陣要求A乘以A的轉置后等于單位陣。加入A=（a1,a2,a3,a4)其中a1,a2,a3,a4為四位列向量，且兩兩正交。則A與AT相乘后對角線上的四個數字必為bjj=aj乘以aj轉=||aj||，j=(1，2，3，4）假如||aj||不等于1，那就不是單位陣了，就變成了對角陣。幾個易混淆和出錯的概念1.AB=E并不代表A，B可逆。2.AAT=E并不代表A是正交陣。
線性代數的正交公式
我們以二次型矩陣A的特征矩陣為基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（AAT=E)的轉置等于逆，利用正交矩陣使A對角化(以特征值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣A是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特征值λ互異，那么對應特征向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣A相同特征值對應的特征向量，取基礎解系，與其它互異特征值對應的特征向量一起構成矩陣，只需對基礎解系施密特正交變換(正交化)，然后對矩陣單位化(勿忘！)。
變換的結果是特征值λ為系數的標準型。
特征向量標準正交化怎么求
1、如果A是實對稱矩陣，要求求正交矩陣P，使P^T*A*P成為對角陣，則求得的A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交陣P。
2、在二次型化為標準形的題目里，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交變換的。
一個矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個n×n矩陣，則pA為n次多項式，因而A最多有n個特征值。
反過來，代數基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有一個實數根，因此對于奇數n，每個實矩陣至少有一個實特征值。在實矩陣的情形，對于偶數或奇數的n，非實數特征值成共軛對出現。
擴展資料
任意給定一個矩陣A，并不是對所有的x它都能拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特征向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個特征向量對應的特征值（Eigenvalue）。
值得注意的是，我們說的特征向量是一類向量，因為任意一個特征向量隨便乘以一個標量結果肯定也滿足以上方程，當然這兩個向量都可以看成是同一個特征向量，而且它們也都對應同一個特征值。
如果特征值是負數，那說明了矩陣不但把向量拉長（縮短）了，而且讓向量指向了相反的方向。一個矩陣可能可以拉長（縮短）好幾個向量，所以它可能就有好多個特征值。如果A是實對稱矩陣，那么那些不同的特征值對應的特征向量肯定是互相正交的。
一個變換矩陣的所有特征向量組成了這個變換矩陣的一組基。所謂基可以理解為坐標系的軸。我們平常用到的大多是直角坐標系，在線形代數中可以把這個坐標系扭曲、拉伸、旋轉，稱為基的變換。我們可以按我們的需求去設定基，但是基的軸之間必須是線形無關的。
也就是保證坐標系的不同軸不要指向同一個方向或可以被別的軸組合而成，否則的話原來的空間就“撐”不起來了。在主成分分析(Principal Component Analysis)中我們通過在拉伸最大的方向設置基，忽略一些小的量，可以極大地壓縮數據而減小失真。
變換矩陣的所有特征向量作為空間的基之所以重要，是因為在這些方向上變換矩陣可以拉伸向量而不必扭曲和旋轉它，使得計算大為簡單。所以特征值固然重要，終極目標卻是特征向量。
參考資料來源：百度百科-特征向量
如果指標單位一樣還需要標準化嗎
首先明確，不同特征值對應的特征向量必正交。然后，以三階為例，重根λ1=λ2，λ3=C，
這時λ1、λ2重根，考慮是否需要施密特正交，如果λ1、λ2對應的特征向量乘一下，內積為0就不需要施密特了，如果內積不為0則要先將λ1、λ2對應的特征向量正交化一下，最后三個特征向量一起單位化。
小結：特征值有重根需要在單位化之前考慮一下重根特征值對應的特征向量是否需要施密特正交化
回到題主所問，這類問題一般出現在讓你求正交矩陣P，使 PTAP=∧ 或者 P逆AP=∧ (PT：T是上標，PT即P的轉置矩陣，∧：對角矩陣，P逆：P的逆矩陣)
這時的正交矩陣就需要單位化
從考研角度答的，如有誤，請指正!
