什么是空間解析幾何 空間幾何簡(jiǎn)介

什么是解析幾何？解析幾何是什么?立體幾何是什么？空間解析幾何的內(nèi)容簡(jiǎn)介，高中解析幾何包括哪些內(nèi)容，大學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何到底是在干什么？空間解析幾何的問題。

本文導(dǎo)航

• 解析幾何學(xué)是哪個(gè)人創(chuàng)立的
• 為啥叫解析幾何
• 解析幾何都有啥內(nèi)容
• 高中解析幾何七大解題技巧
• 大學(xué)解析幾何記錄的筆記多嗎
• 空間幾何簡(jiǎn)介

解析幾何學(xué)是哪個(gè)人創(chuàng)立的

解析幾何

十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。

1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時(shí)的這個(gè)“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國(guó)古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個(gè)意思一樣。

笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點(diǎn)。

從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。

為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。

解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學(xué)》以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對(duì)解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。

在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。

費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對(duì)數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對(duì)自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學(xué)》以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。

笛卡爾的《幾何學(xué)》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。

解析幾何的基本內(nèi)容

在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。

坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。

解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。恩格斯對(duì)此曾經(jīng)作過評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”

解析幾何的應(yīng)用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。

在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。

在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。

橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。

運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。

坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對(duì)近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。

圓錐曲線

希臘著名學(xué)者梅內(nèi)克繆斯（公元前4世紀(jì)）企圖解決當(dāng)時(shí)的著名難題“倍立方問題”（即用直尺和圓規(guī)把立方體體積擴(kuò)大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉(zhuǎn)三角形ABC一周，得到曲面ABECE’，如圖1。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE’，梅內(nèi)克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”。他想以此在理論上解決“倍立方問題?！蔽传@成功。而后，便撤開“倍立方問題”，把圓錐曲線做為專有概念進(jìn)行研究：若以直角三角形ABC中的長(zhǎng)直角邊AC為軸旋轉(zhuǎn)三角形ABC一周，得到曲面CB’EBE’，如圖2。用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐曲線”；若以直角三角形ABC中的短直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)三角形ABC一周，可得到曲面BC’ECE’。如圖3。用垂直于BV的平面去截此曲面，其切口曲線EDE’稱為“鈍角圓錐曲線”。當(dāng)時(shí)，希臘人對(duì)平面曲線還缺乏認(rèn)識(shí)，上述三種曲線須以“圓錐曲面為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的“雛形”。

其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科 ：

算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)

為啥叫解析幾何

解析幾何系指借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究集合對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支，亦叫做坐標(biāo)幾何

立體幾何數(shù)學(xué)上，立體幾何(solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統(tǒng)名稱— 因?yàn)閷?shí)踐上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的后續(xù)課程。立體測(cè)繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測(cè)量問題：圓柱，圓錐， 錐臺(tái)， 球， 棱柱， 楔， 瓶蓋等等。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就處理過球和正多面體，但是棱錐，棱柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學(xué)派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測(cè)量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個(gè)證明球體積和其半徑的立方成正比的。

解析幾何都有啥內(nèi)容

借助矢量的概念可使幾何更便于應(yīng)用到某些自然科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中去，因此，在第1章介紹空間坐標(biāo)系后，緊接著在第2章介紹了矢量的概念及其代數(shù)運(yùn)算。第3章討論空間直角坐標(biāo)系中用一次方程表示的圖形（直線與平面）。第4、5章主要討論空間直角坐標(biāo)系中用二次方程表示的曲面（二次曲面）。第6、7章簡(jiǎn)單介紹了正交變換與仿射變換，以及射影幾何基礎(chǔ)。作為一學(xué)期每周4學(xué)時(shí)（3小時(shí)講授，1小時(shí)習(xí)題課）用的教材，本書配置有適量的習(xí)題。第7章射影幾何部分可酌情講授或刪略。

高中解析幾何七大解題技巧

高中解析幾何包括橢圓，雙曲線，拋物線。

橢圓（Ellipse）是平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，F(xiàn)1、F2稱為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。橢圓是圓錐曲線的一種，即圓錐與平面的截線。橢圓的周長(zhǎng)等于特定的正弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的長(zhǎng)度。

雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。

它還可以定義為與兩個(gè)固定的點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離差是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這個(gè)固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點(diǎn)的距離。a還叫做雙曲線的實(shí)半軸。焦點(diǎn)位于貫穿軸上，它們的中間點(diǎn)叫做中心，中心一般位于原點(diǎn)處。

平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫拋物線的準(zhǔn)線。

拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）和一條定直線l（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。它有許多表示方法，例如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等。 它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。 拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

解析幾何（Analytic geometry），又稱為坐標(biāo)幾何（Coordinate geometry）或卡氏幾何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒幾何，是一種借助于解析式進(jìn)行圖形研究的幾何學(xué)分支。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標(biāo)系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星型線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標(biāo)系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時(shí)研究它們的方程，并定義一些圖形的概念和參數(shù)。

大學(xué)解析幾何記錄的筆記多嗎

解析幾何指借助笛卡爾坐標(biāo)系，由笛卡爾、費(fèi)馬等數(shù)學(xué)家創(chuàng)立并發(fā)展。它是利用解析式來研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支，亦叫做坐標(biāo)幾何。

嚴(yán)格地講，解析幾何利用的并不是代數(shù)方法，而是借助解析式來研究幾何圖形。這里面的解析式，既可以是代數(shù)的，也可以是超越的——例如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)等。通常默認(rèn)代數(shù)式只由有限步的四則運(yùn)算及開方構(gòu)成，超越運(yùn)算一般不屬于代數(shù)學(xué)的研究范疇。

擴(kuò)展資料

出現(xiàn)原因

十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。

這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。

參考資料來源：百度百科-解析幾何

空間幾何簡(jiǎn)介

目前本科教材的空間解析幾何就是研究向量，直線、平面，二次曲線，二次曲面，仿射和等距變換這些。而所有這些都是線性代數(shù)里面相關(guān)內(nèi)容的的特例。還用不到那么空間解析幾何中那么多的概念。

一般空間解析幾何教材中的內(nèi)容，在線代中，僅用向量，矩陣，內(nèi)積，二次型就能全部處理，還僅僅局限在 [公式] 上。而在計(jì)算機(jī)方面，對(duì)空間解析幾何的問題也全部用數(shù)值代數(shù)來處理的。

于是，從數(shù)學(xué)的角度上，上述空間解析幾何內(nèi)容都是基礎(chǔ)的不行的。但是在工程、設(shè)計(jì)上，還是頗有些用處，盡管實(shí)際的處理計(jì)算還是用的代數(shù)和分析的方法，但是工程師和設(shè)計(jì)師們的語言交流上還是幾何的。比如一個(gè)二次曲面方程，代數(shù)不會(huì)在乎它長(zhǎng)什么樣，是橢球面還是馬鞍面。但是在工程、設(shè)計(jì)上長(zhǎng)啥樣就重要了。

所以，在線性代數(shù)作為相關(guān)專業(yè)都是必修課的今天，空間解析幾何就沒必要再教授了。即使對(duì)于工程和設(shè)計(jì)等專業(yè)，都不需要開空間解析幾何。因?yàn)椋枰膬?nèi)容在高數(shù)里面就有（同濟(jì)版高數(shù)第八章），老師教授的時(shí)候，只要把線代的部分內(nèi)容作為橋梁，引入一些高數(shù)中沒介紹的空間解析幾何的概念，給學(xué)生簡(jiǎn)單介紹一下就行（坐標(biāo)變換，仿射、等距變換——矩陣乘法；曲線、曲面方程的化簡(jiǎn)或標(biāo)準(zhǔn)化——二次型、特征值）