怎么證矩陣相似 證明兩個矩陣等價的方法

怎么證明兩個矩陣相似呢？證明兩個矩陣相似的充要條件是什么？如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？如何判斷一個矩陣的相似矩陣？線性代數(shù)，證明兩個矩陣相似，線性代數(shù)中怎么證明兩個矩陣相似？

本文導(dǎo)航

• 怎么證明兩個矩陣相似呢？
• 證明兩個矩陣等價的方法
• 如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？
• 如何判斷一個矩陣的相似矩陣？
• 線性代數(shù)，證明兩個矩陣相似
• 線性代數(shù)中怎么證明兩個矩陣相似

怎么證明兩個矩陣相似呢？

都可以對角化就說明都與對角陣相似，且特征值相同，說明和同一對角陣相似，由相似的傳遞性可知，A B相似。

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量。

注： 定理的證明過程實際上已經(jīng)給出了把方陣對角化的方法。

擴展資料：

若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實現(xiàn)：

（1） 求出全部的特征值；

（2）對每一個特征值,設(shè)其重數(shù)為k,則對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個向量構(gòu)成，即為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個線性無關(guān)的特征向量。

將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對可對角化矩陣才可以施以特征分解。

U是m×m階酉矩陣；Σ是m×n階實數(shù)對角矩陣；而V*，即V的共軛轉(zhuǎn)置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作M的奇異值分解。Σ對角線上的元素Σi,i即為M的奇異值。常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一確定了。

參考資料來源：百度百科——相似矩陣

證明兩個矩陣等價的方法

AB是任意矩陣，沒有特別指明說AB是實對稱矩陣或者可對角化，若需要可以將以上將其作為充分必要條件的一部分。...

1、相似的定義為：對n階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱A、B相似。

2、從定義出發(fā)，最簡單的充要條件即是：對于給定的A、B，能夠找到這樣的一個P，使得：

P^(-1)AP=B；或者：能夠找到一個矩陣C，使得A和B均相似于C。

3、進一步地，如果A、B均可相似對角化，則他們相似的充要條件為：A、B具有相同的特征值。

4、再進一步，

因為每個矩陣都相似于唯一一個其標準若爾當(dāng)型，

那么只要他們的標準若爾當(dāng)型相同（當(dāng)然他們的若爾當(dāng)塊可適當(dāng)調(diào)整位置），他們就相似。

如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？

此問很籠統(tǒng)。若是AB都已知的話，只要將它們都化成行最簡形，若相同則它們相似；如果AB未知，只是給出一些條件，那就要具體分析了，大致是用相似的定義去證明。

如何判斷一個矩陣的相似矩陣？

答：根據(jù)題目知道A是對角矩陣，找A的相似對角矩陣。

一個矩陣相似對角陣的充分必要條件是：ni重特征值λ的特征向量有ni個。即r(λiE-A)=n-ni

根據(jù)原理我們求ABCD的特征值為：

特征值1為2重特征值，其對于的矩陣（E-A）的秩，r(E-A)=3-2=1

選項A，r(E-A)=2

選項B，r(E-A)=2

選項C，r(E-A)=1

選項D，r(E-A)=2

所以答案選擇C

擴展知識：

相似矩陣的定義是：

設(shè)

A,B

都是

n

階矩陣，若有可逆矩陣

P

，使

P^{-1}AP=B

則稱

B

是

A

的相似矩陣，或說

A

和

B

相似。

特征向量：

矩陣A線性變換后，有某一些向量仍然在變后的空間保持原有的方向，只是這些向量被拉伸或者壓縮的了，稱為特征向量。

特征值：

矩陣進行同一個維度的空間線性變換后，保持方向不變的特征向量的拉伸或者壓縮的倍數(shù)即是特征值， （驗證在文末，參照“備注驗證B”）

線性代數(shù)，證明兩個矩陣相似

都可以對角化就說明都與對角陣相似，且特征值相同，說明和同一對角陣相似，由相似的傳遞性可知，A B相似。

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量。

注： 定理的證明過程實際上已經(jīng)給出了把方陣對角化的方法。

擴展資料：

若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實現(xiàn)：

（1） 求出全部的特征值；

（2）對每一個特征值,設(shè)其重數(shù)為k,則對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個向量構(gòu)成，即為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個線性無關(guān)的特征向量。

將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對可對角化矩陣才可以施以特征分解。

U是m×m階酉矩陣；Σ是m×n階實數(shù)對角矩陣；而V*，即V的共軛轉(zhuǎn)置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作M的奇異值分解。Σ對角線上的元素Σi,i即為M的奇異值。常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一確定了。

參考資料來源：百度百科——相似矩陣

線性代數(shù)中怎么證明兩個矩陣相似

只需要證明兩個矩陣有相同的特征值。

得第一個矩陣特征值為2,1，-1

同理可得第二個矩陣特征值為2,1，-1

因此兩個矩陣都∽對角矩陣diag(2,1,-1)

由于相似的傳遞性，故兩矩陣相似