為什么可積不一定有原函數(shù) 所有函數(shù)都有不定積分嗎

為什么積分存在卻不一定有原函數(shù)？函數(shù)可積一定存在原函數(shù)嗎？原函數(shù)存在與函數(shù)可積這個(gè)怎么理解？可積函數(shù)一定存在原函數(shù)嗎？可積是否一定存在原函數(shù)，存在原函數(shù)一定可積嗎？

本文導(dǎo)航

• 所有函數(shù)都有不定積分嗎
• 任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎
• 為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)
• 函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系
• 如何證明可積函數(shù)必有界
• 一個(gè)函數(shù)連續(xù)必定會(huì)存在原函數(shù)嗎

所有函數(shù)都有不定積分嗎

　　積分存在和有原函數(shù)是兩回事。

　　積分存在應(yīng)該指的是定積分存在（也稱 Riemann 可積，見(jiàn)定積分的定義），而有原函數(shù)卻是指的有函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于這個(gè)函數(shù)。比如 Riemann 函數(shù) R(x) 是 Riemann 可積的，但 R(x) 的原函數(shù)是什么卻不清楚。

任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎

函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。按條件的強(qiáng)度來(lái)說(shuō)，可積是個(gè)較弱的條件，因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)?！?可積的必要條件就是函數(shù)有界。

函數(shù)可積，只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件，也就是說(shuō)，閉區(qū)間連續(xù)一定可積，且必有原函數(shù)，而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。

可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件，也就是說(shuō)可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。

可微是很強(qiáng)的條件，比可導(dǎo)還強(qiáng)，一元函數(shù)二者等價(jià)，多元函數(shù)可微比可導(dǎo)強(qiáng)。

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)（我認(rèn)為）是最強(qiáng)的條件，可以推出上述的一切條件。一個(gè)函數(shù)如果可導(dǎo)，那么它的導(dǎo)函數(shù)是不可能存在第一類間斷點(diǎn)的，所以說(shuō)一個(gè)函數(shù)如果存在第一類間斷點(diǎn)，那么它是不會(huì)有原函數(shù)的。

擴(kuò)展資料：

可積函數(shù)充分條件：

（1）設(shè);;在區(qū)間;;上連續(xù)，則;在;上可積。

（2）設(shè);;區(qū)間;;上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則;在;;上可積。

（3）設(shè);;在區(qū)間;;上單調(diào)有界，則;;在;;上可積。

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù)，這是一個(gè)充分而不必要條件，也稱為“原函數(shù)存在定理”。

函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù)）中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，

故若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么其原函數(shù)為無(wú)窮多個(gè)。

例如：x3是3x2的一個(gè)原函數(shù)，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函數(shù)。因此，一個(gè)函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù)，就有許許多多原函數(shù)，原函數(shù)概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來(lái)的。

例如：已知作直線運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻t的速度為v=v(t),要求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ，就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問(wèn)題是微積分學(xué)的基本理論問(wèn)題，當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，其原函數(shù)一定存在。

為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)

如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題，還是我來(lái)回答吧。第一，兩者絕對(duì)不等價(jià)，原函數(shù)存在不一定可積，譬如，F(xiàn)（X)的導(dǎo)數(shù)為f(x),但是f(x)是無(wú)界的，當(dāng)然不可積，這樣的例子是存在的，我手里有很多，建議數(shù)字符號(hào)不好輸，我就不列舉了。第2，可積不一定存在原函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)f(x)有界，且存在有限個(gè)間斷點(diǎn)是可積的，但是一旦這個(gè)間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，那么雖然可積，但原函數(shù)肯定不存在的。你那個(gè)C存在，就是可積分但原函數(shù)不存在的例子

函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系

有這么兩個(gè)命題，均選自課本：

1，若f（x）在區(qū)間I上有有一類間斷點(diǎn)，則f（x）在I上不存在原函數(shù)。

2，f（x）在[a，b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)是可積的充要條件。

這樣是不是可以說(shuō)明可積的函數(shù)不一定存在原函數(shù)？我來(lái)幫他解答

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2010-9-11

20:32

滿意回答

是這樣的，可積不一定存在原函數(shù)。正好用一樓的例子，他給的函數(shù)存在第一類間斷點(diǎn)，在某個(gè)閉區(qū)間內(nèi)可積，如[-1,1]，可是原函數(shù)是不存在的，因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù)，只能說(shuō)在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù)，但是對(duì)于在給定的包括0的整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)來(lái)說(shuō)原函數(shù)是不存在的。不知道說(shuō)的是否明白，第一個(gè)命題是正確的。

如何證明可積函數(shù)必有界

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是這樣的，可積不一定存在

原函數(shù)

。正好用一樓的例子，他給的函數(shù)存在

第一類間斷點(diǎn)

，在某個(gè)

閉區(qū)間

內(nèi)可積，如[-1,1]，可是原函數(shù)是不存在的，因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù)，只能說(shuō)在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù)，但是對(duì)于在給定的包括0的整個(gè)

定義域

內(nèi)的函數(shù)來(lái)說(shuō)原函數(shù)是不存在的。不知道說(shuō)的是否明白，第一個(gè)命題是正確的。

一個(gè)函數(shù)連續(xù)必定會(huì)存在原函數(shù)嗎

函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。

按條件的強(qiáng)度來(lái)說(shuō)，可積是個(gè)較弱的條件，因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)?！?/p>

可積的條件：

可積的必要條件就是函數(shù)有界。

函數(shù)可積，只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。

連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件，也就是說(shuō)，閉區(qū)間連續(xù)一定可積，且必有原函數(shù)，而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。

可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件，也就是說(shuō)可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。