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考研數(shù)學二基本公式

數(shù)學高考基礎(chǔ)知識、常見結(jié)論詳解

一、集合與簡易邏輯：

一、理解集合中的有關(guān)概念

（1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。

集合元素的互異性：如： ， ，求 ；

（2）集合與元素的關(guān)系用符號 ， 表示。

（3）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 、 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實數(shù)集 。

（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

注意：區(qū)分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；

；

（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：條件為 ，在討論的時候不要遺忘了 的情況。

如： ，如果 ，求 的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運算

（1）符號“ ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點與直線（面）的關(guān)系 ；

符號“ ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 。

（2） ； ；

（3）對于任意集合 ，則：

① ； ； ；

② ； ；

； ；

③ ； ；

（4）①若 為偶數(shù)，則 ；若 為奇數(shù)，則 ；

②若 被3除余0，則 ；若 被3除余1，則 ；若 被3除余2，則 ；

三、集合中元素的個數(shù)的計算：

（1）若集合 中有 個元素，則集合 的所有不同的子集個數(shù)為_________，所有真子集的個數(shù)是__________，所有非空真子集的個數(shù)是 。

（2） 中元素的個數(shù)的計算公式為： ；

（3）韋恩圖的運用：

四、 滿足條件 ， 滿足條件 ，

若 ；則 是 的充分非必要條件 ；

若 ；則 是 的必要非充分條件 ；

若 ；則 是 的充要條件 ；

若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ；

五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ；

注意：“若 ，則 ”在解題中的運用，

如：“ ”是“ ”的 條件。

六、反證法：當證明“若 ，則 ”感到困難時，改證它的等價命題“若 則 ”成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導出與假設(shè)相矛盾的命題；3、導出一個恒假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時。

正面詞語 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個

否定

正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個

否定

二、函數(shù)

一、映射與函數(shù)：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念：

如：若 ， ；問： 到 的映射有 個， 到 的映射有 個； 到 的函數(shù)有 個，若 ，則 到 的一一映射有 個。

函數(shù) 的圖象與直線 交點的個數(shù)為 個。

二、函數(shù)的三要素： ， ， 。

相同函數(shù)的判斷方法：① ；② (兩點必須同時具備)

（1）函數(shù)解析式的求法：

①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

（2）函數(shù)定義域的求法：

① ，則 ； ② 則 ；

③ ，則 ； ④如： ，則 ；

⑤含參問題的定義域要分類討論；

如：已知函數(shù) 的定義域是 ，求 的定義域。

⑥對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為 ，扇形面積為 ，則 ；定義域為 。

（3）函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

求下列函數(shù)的值域：① （2種方法）；

② （2種方法）；③ （2種方法）；

三、函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）

導數(shù)法（適用于多項式函數(shù)）

復合函數(shù)法和圖像法。

應用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數(shù)法

應用：把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.

應用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考）

平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（?。┯邢禂?shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y＝f(2x＋4)的圖象。

（ⅱ）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。

對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關(guān)于y軸對稱

y=f(x)→y=－f(x) ,關(guān)于x軸對稱

y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數(shù)）

伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

一個重要結(jié)論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；

如： 的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） ；

（5） ；（6） ；

（7） ；（8） ；

（9） 。

五、反函數(shù)：

（1）定義：

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ；

（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ；

（4）求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。

（5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系： ；

（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

（7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

如：求下列函數(shù)的反函數(shù)： ； ；

七、常用的初等函數(shù)：

（1）一元一次函數(shù)： ，當 時，是增函數(shù)；當 時，是減函數(shù)；

（2）一元二次函數(shù)：

一般式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；

兩點式： ；對稱軸方程是 ；與 軸的交點為 ；

頂點式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；當 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為 的形式，

Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區(qū)間上，則

時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；

時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；

Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上，則

時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；

時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；

有三個類型題型：

(1)頂點固定，區(qū)間也固定。如：

(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。

(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)．

③二次方程實數(shù)根的分布問題： 設(shè)實系數(shù)一元二次方程 的兩根為 ；則：

根的情況

等價命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根

充要條件

注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令 和 檢查端點的情況。

（3）反比例函數(shù)：

（4）指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運算法則： ； ； 。

指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1)，圖象恒過點（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

（5）對數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運算法則： ； ； ；

對數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1) 圖象恒過點（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

注意：（1） 與 的圖象關(guān)系是 ；

（2）比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

（3）已知函數(shù) 的定義域為 ，求 的取值范圍。

已知函數(shù) 的值域為 ，求 的取值范圍。

六、 的圖象：

定義域： ；值域： ； 奇偶性： ； 單調(diào)性： 是增函數(shù)； 是減函數(shù)。

七、補充內(nèi)容：

抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應的一些具體特殊函數(shù)模型：

① 正比例函數(shù)

② ； ；

③ ； ；

④ ；

三、導 數(shù)

1．求導法則：

(c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導數(shù)值為0。

(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)

2．導數(shù)的幾何物理意義：

k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。

V＝s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。

3．導數(shù)的應用：

①求切線的斜率。

②導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

一 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

能推出 為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，但 ，∴ 是 為增函數(shù)的充分不必要條件。

二 時， 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

若將 的根作為分界點，因為規(guī)定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數(shù)，就一定有 ?！喈?時， 是 為增函數(shù)的充分必要條件。

三 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

為增函數(shù)，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為 或 。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！?是 為增函數(shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。

四單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域;（2）求導數(shù) （3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。

我們在應用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導。

③求極值、求最值。

注意：極值≠最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。

f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數(shù)有極值。

但是，當x=x0時，函數(shù)有極值 f/(x0)＝0

判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。

4.導數(shù)的常規(guī)問題：

（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；

（2）同幾何中切線聯(lián)系（導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；

（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于 次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。

2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。

3．導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

四、不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

(2)注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：

①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。

②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。

③圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。

④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小

二、均值不等式：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

若 ，則 （當且僅當 時取等號）

基本變形：① ； ；

②若 ，則 ，

基本應用：①放縮，變形；

②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。

當 （常數(shù)），當且僅當 時， ；

當 （常數(shù)），當且僅當 時， ；

常用的方法為：拆、湊、平方；

如：①函數(shù) 的最小值 。

②若正數(shù) 滿足 ，則 的最小值 。

三、絕對值不等式：

注意：上述等號“＝”成立的條件；

四、常用的基本不等式：

（1）設(shè) ，則 （當且僅當 時取等號）

（2） （當且僅當 時取等號）； （當且僅當 時取等號）

（3） ； ；

五、證明不等式常用方法：

（1）比較法：作差比較：

作差比較的步驟：

⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。

⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。

⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。

（2）綜合法：由因?qū)Ч?

（3）分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……

（4）反證法：正難則反。

（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。

放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項，如： ；

⑵將分子或分母放大（或縮小）

⑶利用基本不等式，如： ；

⑷利用常用結(jié)論：

Ⅰ、 ；

Ⅱ、 ； （程度大）

Ⅲ、 ； （程度?。?

（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：

已知 ，可設(shè) ；

已知 ，可設(shè) ( )；

已知 ，可設(shè) ；

已知 ，可設(shè) ；

（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；

六、不等式的解法：

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；

Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對 進行討論：

（5）絕對值不等式：若 ，則 ； ；

注意：(1).幾何意義： ： ； ： ；

(2)解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：

⑴對絕對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；①若 則 ；②若 則 ；③若 則 ；

(3).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。

(4).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。

（6）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

⑴ ；⑵ ；

⑶ ；⑷ ；

（7）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。

（8）解含有參數(shù)的不等式：

解含參數(shù)的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.

②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設(shè)根為 （或更多）但含參數(shù)，要分 、 、 討論。

五、數(shù)列

本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復習應達到的目標. ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.

②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；

③整體思想：在解數(shù)列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整

體思想求解.

（4）在解答有關(guān)的數(shù)列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯.

一、基本概念：

1、 數(shù)列的定義及表示方法：

2、 數(shù)列的項與項數(shù)：

3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：

4、 遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列：

5、 數(shù)列{an}的通項公式an：

6、 數(shù)列的前n項和公式Sn:

7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

二、基本公式：

9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=

10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=

當d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

13、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

當q≠1時，Sn= Sn=

三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

16、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。

18、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

19、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

{an bn}、 、 仍為等比數(shù)列。

20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；

四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)

24、{an}為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。

25、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。

26. 在等差數(shù)列 中：

（1）若項數(shù)為 ，則

（2）若數(shù)為 則， ，

27. 在等比數(shù)列 中：

（1） 若項數(shù)為 ，則

（2）若數(shù)為 則，

四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。

28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n

29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求數(shù)列{an}的最大、最小項的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=

33、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最大值.

(2)當 <0,d>0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最小值。

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。

六、平面向量

1．基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2． 加法與減法的代數(shù)運算：

(1) ．

(2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）．

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量 = + , = － , = －

且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．

向量加法有如下規(guī)律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結(jié)合律）;

+0= ＋(－ )=0.

3．實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;

(2) 當 ＞0時， 與 的方向相同；當 ＜0時， 與 的方向相反；當 =0時， =0．

(3)若 =（ ），則 · =（ ）．

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向線段 所成的比：

設(shè)P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。

當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；

分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．

5． 向量的數(shù)量積：

（1）．向量的夾角：

已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。

（2）．兩個向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);

⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;

cos = = ．

(4) ．向量的數(shù)量積的運算律：

·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

七、立體幾何

1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

能夠用斜二測法作圖。

2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念；

會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是{00.900}

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.

4.平面與平面

(1)位置關(guān)系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法? 多但是有用自己慢記！

平均值怎么算

計算平均值，一般常用的有兩種方法：一種是簡單平均法，一種是加權(quán)平均法。例如，某企業(yè)生產(chǎn)A產(chǎn)品10臺，單價100元；生產(chǎn)B產(chǎn)品5臺，單價50元；生產(chǎn)C產(chǎn)品3臺，單價30元，計算平均價格？簡單平均法：平均價格=∑各類產(chǎn)品單價 / 產(chǎn)品種類

平均價格=（100+50+30）/ 3 = 60（元）加權(quán)平均法：平均價格=∑（產(chǎn)品單價×產(chǎn)品數(shù)量）/ ∑（產(chǎn)品數(shù)量）

平均價格=（100×10+50×5+30×3）/（10+5+3）= 74.44（元）可以看出，簡單平均與加權(quán)平均計算出來的平均值差距較大，而后者更貼近事實，屬于精確計算。

擴展資料：

平均值有算術(shù)平均值，幾何平均值，平方平均值（均方根平均值，rms），調(diào)和平均值，加權(quán)平均值等。其中以算術(shù)平均值最為常見。

算術(shù)平均數(shù)，又稱均值，是統(tǒng)計學中最基本、最常用的一種平均指標，分為簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計算形式和計算公式。

算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式（特殊在各項的權(quán)重相等）。在實際問題中，當各項權(quán)重不相等時，計算平均數(shù)時就要采用加權(quán)平均數(shù)；當各項權(quán)相等時，計算平均數(shù)就要采用算術(shù)平均數(shù)。

1. 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)同時受到兩個因素的影響，一個是各組數(shù)值的大小，另一個是各組分布頻數(shù)的多少。在數(shù)值不變的情況下，一組的頻數(shù)越多，該組的數(shù)值對平均數(shù)的作用就大，反之，越小。

頻數(shù)在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中起著權(quán)衡輕重的作用，這也是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)“加權(quán)”的含義。

2. 算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。例如有下列資料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部資料的平均值是7.1，實際上大部分數(shù)據(jù)（有10個）不超過7，如果去掉20，則剩下的12個數(shù)的平均數(shù)為6。

由此可見，極端值的出現(xiàn)，會使平均數(shù)的真實性受到干擾。

幾何平均數(shù)是對各變量值的連乘積開項數(shù)次方根。求幾何平均數(shù)的方法叫做幾何平均法。如果總水平、總成果等于所有階段、所有環(huán)節(jié)水平、成果的連乘積總和時，求各階段、各環(huán)節(jié)的一般水平、一般成果，要使用幾何平均法計算幾何平均數(shù)，而不能使用算術(shù)平均法計算算術(shù)平均數(shù)。

根據(jù)所拿握資料的形式不同，其分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種形式。

平均值怎么算簡單算法

(a1+a2+……an)/n為a1,a2,……,an的算術(shù)平均值.

簡單算術(shù)平均數(shù).有這么一組數(shù)字10、20、30、40、50　那么它們的算術(shù)平均值是（10+20+30+40+50）/5=30

平均值有算術(shù)平均值，幾何平均值，平方平均值（均方根平均值，rms），調(diào)和平均值，加權(quán)平均值等，其中以算術(shù)平均值最為常見。

算術(shù)平均數(shù)（ arithmetic mean），又稱均值，是統(tǒng)計學中最基本、最常用的一種平均指標，分為簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計算形式和計算公式。 算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式（特殊在各項的權(quán)重相等）。在實際問題中，當各項權(quán)重不相等時，計算平均數(shù)時就要采用加權(quán)平均數(shù)；當各項權(quán)相等時，計算平均數(shù)就要采用算術(shù)平均數(shù)。