什么是不連續(xù)函數(shù) 如何證明該函數(shù)連續(xù)

怎么樣的函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)？函數(shù)怎么樣才算連續(xù)或者不連續(xù)？一個函數(shù)不連續(xù)就一定不可導，為什么？什么情況下函數(shù)不連續(xù)？什么情況下函數(shù)不可導？什么是連續(xù)函數(shù)什么是非連續(xù)函數(shù)？不連續(xù)的二元函數(shù)圖像長什么樣？

本文導航

• 怎么證函數(shù)連續(xù)
• 如何證明該函數(shù)連續(xù)
• 什么情況下函數(shù)連續(xù)不可導
• 什么樣子的連續(xù)函數(shù)不可導
• 連續(xù)函數(shù)有哪些隱藏條件
• 六種二次函數(shù)圖像

怎么證函數(shù)連續(xù)

呵呵,其實很簡單,想法來源于Dirichlet函數(shù),就是

當x為有理數(shù)時f(x)=1，當x為無理數(shù)時f(x)=0,

顯然這函數(shù)處處不連續(xù).

那么我們對其做一點修改,就可以滿足只在一點連續(xù)了,改法為:

當x為有理數(shù)時f(x)=x-a，當x為無理數(shù)時f(x)=0,

其中a為有理數(shù).

那么f(x)就只在a點連續(xù)了.

具體證明你想想就知道了.

類似地，我們可以擴展出只在兩個點、只在三個點連續(xù)的函數(shù)。只需把有理點上的f(x)=x-a換成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，我們便得到一個只在a, b, c三點連續(xù)的函數(shù)。

當然，連續(xù)函數(shù)也不見得是可導的。

f (x) = ∞n =0 bncos (cnπx)其中a為一正奇數(shù) ,0 <b <1 ,只要ab滿足一定條件 ,如ab >1 +32 π ,可以證明函數(shù)處處連續(xù)卻處處不可導.

參考http://baike.baidu.com/view/364860.htm?func=retitle

如何證明該函數(shù)連續(xù)

在tuyong567165的回答基礎上補充一下：

在一點處連續(xù)：左極限等于右極限，且等于該點處的函數(shù)值。

那不連續(xù)就是左右極限不等，或是左右極限雖相等，但不等于該點處的函數(shù)值。

[或是函數(shù)沒有定義的點。

或是左右極限至少有一個不存在的點。

從圖形上看，曲線在該點是連續(xù)的，不間斷的。

例如正弦函數(shù)，對數(shù)函數(shù)都是連續(xù)的。]

連續(xù)是對于點來說的。都是說在某點上連續(xù)不連續(xù)。

[使得函數(shù)分母為零的點就是函數(shù)不連續(xù)的點，原因是函數(shù)在這樣的點處沒有定義，無法談及等于或者不等于該點處的函數(shù)值。]

什么情況下函數(shù)連續(xù)不可導

證明過程：

x=x0點的導數(shù)：lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

若函數(shù)在x0點可導，極限必須存在，設極限為a

即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a

f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=0*A=0

而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）

因為f（x0）是常數(shù)，所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0

lim（x→x0）f（x）=f（x0），所以連續(xù)。

函數(shù)可導的條件：

如果一個函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。

函數(shù)在定義域中一點可導需要一定的條件：函數(shù)在該點的左右導數(shù)存在且相等，不能證明這點導數(shù)存在。只有左右導數(shù)存在且相等，并且在該點連續(xù)，才能證明該點可導。

可導的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。

在微積分學中,一個實變量函數(shù)是可導函數(shù)，若其在定義域中每一點導數(shù)存在。直觀上說，函數(shù)圖像在其定義域每一點處是相對平滑的，不包含任何尖點、斷點。

擴展資料：

實值連續(xù)函數(shù)：

最基本也是最常見的連續(xù)函數(shù)是定義域為實數(shù)集的某個子集、取值也是實數(shù)的連續(xù)函數(shù)。例如前面提到的花的高度，就是屬于這一類型。

這類函數(shù)的連續(xù)性可以用直角坐標系中的圖像來表示。一個這樣的函數(shù)是連續(xù)的，如果粗略地說，它的圖像為一個單一的不破的曲線，并且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振蕩。

嚴格來說，設f是一個從實數(shù)集的子集I包含于R射到J包含于R的函數(shù)f:I指向J。f 在I 中的某個點 c處是連續(xù)的當且僅當以下的兩個條件滿足：

1. f在點 c上有定義。

2. c是 I中的一個聚點，并且無論自變量 x在 I中以什么方式接近 c，f(x) 的極限都存在且等于 f(c)。

我們稱函數(shù)到處連續(xù)或處處連續(xù)，或者簡單的稱為連續(xù)，如果它在其定義域中的任意一點處都連續(xù)。

更一般地，當一個函數(shù)在定義域中的某個子集的每一點處都連續(xù)時，就說這個函數(shù)在這個子集上是連續(xù)的。等于函數(shù)值，所以在x0點處連續(xù)。

參考資料：百度百科-連續(xù)

什么樣子的連續(xù)函數(shù)不可導

不連續(xù)不可導

連續(xù)時左右導數(shù)不等不可導

簡單直觀的說，如果你看到函數(shù)圖像是斷開的，那就在斷開的地方不可導咯，比如說y=1/x在(0,0)是斷開的

連續(xù)函數(shù)有哪些隱藏條件

連續(xù)函數(shù)Y=F(X)在自變量X的定義域內(nèi),F(X),也就是Y的值,都是連續(xù)的,中間不能有間斷.

非連續(xù)函數(shù),Y=F(X),F(X)=2,在x=0,那么在X=0附近就存在一個剪短點,因此是非連續(xù)函數(shù)

六種二次函數(shù)圖像

不連續(xù)函數(shù)：定義域中含有自變量不可取的區(qū)間的函數(shù)

即使二元函數(shù)對x和y的偏導數(shù)都存在,只說明它在所有橫的和豎的直線上可導,理論上仍有可能在某條斜的直線上不連續(xù).這種函數(shù)確實是存在的,一般微積分書上會給出標準的例子：f(x,y)在坐標原點取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).

推廣一下,一般的多元函數(shù)可以想成高維空間上的函數(shù),連續(xù)需要在各個方向的平面上都連續(xù),而偏導數(shù)存在只說明在所有和坐標平面平行的平面上可導－－后者推不出前者.一元函數(shù)不會有這種問題,因為直線上

例如：f(x,y)在坐標原點取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).這個函數(shù)在原點附近,沿橫坐標方向和縱坐標方向都連續(xù)可導,所以偏導數(shù)存在；但沿斜的直線y=x方向就不連續(xù)：原點處取值為0,而其它點處取值=x^2/(x^2+x^2)=1/2