取行列式是什么意思 行列式的定義及意義

行列式什么意思？怎么取的行列式 ?沒(méi)看明白？為什么行列式再取行列式=行列式的n次方？什么是行列式?？什么是行列式？計(jì)算行列式是什么意思？

本文導(dǎo)航

• 行列式用什么符號(hào)表示
• 行列式的計(jì)算方法秘訣
• 行列式和n階行列式計(jì)算的區(qū)別
• 行列式怎么定義出來(lái)的
• 行列式的定義及意義
• 行列式的計(jì)算方法都有哪些

行列式用什么符號(hào)表示

比如n×n的方陣，隨便取一行或者列，將該行（列）的每一個(gè)元素乘以該元素的代數(shù)余子式，然后加起來(lái)就得到了行列式的值，

關(guān)于代數(shù)余子式：某個(gè)元素的代數(shù)余子式就是除去該元素的行和列剩下的（n-1）×（n-1）的方陣的行列式，然后再添個(gè)符號(hào)，如果該元素的角標(biāo)合是奇，就取負(fù)，是偶，就取正

如果是求一個(gè)N階的行列式，可以一直這樣算下去，直到算到二階，對(duì)于二階的行列式，直接可以用對(duì)角相乘做差即可，也就是（a1*a4 - a2*a3）

行列式的計(jì)算方法秘訣

左邊，

|A|是常數(shù)，

目測(cè)后面的矩陣都是三階方陣，

然后利用矩陣行列式的性質(zhì)：

(1)|kA|=k^n·|A|

(A是n階方陣)

(2)|AB|=|A|·|B|

于是，|A|這個(gè)常數(shù)就變成|A|3了。

行列式和n階行列式計(jì)算的區(qū)別

因?yàn)樾辛惺?|kA| = k的n次方倍的|A|

這里的 |kA| 表示的是行列式A中的每一個(gè)元素都乘了一個(gè)k.

給行列式|A|中的某一行/列乘以一個(gè)數(shù)k相當(dāng)于k倍的|A|, 即k|A|. 如果|kA|是一個(gè)n階行列式的話, 那么每一行都提出了一個(gè)k, 一共有n行, 所以是k^n|A|; 或者也可以是每一列都提出了一個(gè)k, 一共有n列, 所以是k^n|A|

行列式其實(shí)是一個(gè)數(shù), ||A|| 中的 |A|是一個(gè)數(shù), 相當(dāng)于上面的k, 把一個(gè)數(shù)從一個(gè)n階行列式中提出, 結(jié)果就是這個(gè)數(shù)的n次方, 即|A|的n次方

行列式怎么定義出來(lái)的

行列式

行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)閐et的矩陣A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f(shuō)，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。

數(shù)學(xué)定義

n階行列式

設(shè)

是由排成n階方陣形式的n2個(gè)數(shù)aij(i,j=1,2,...,n)確定的一個(gè)數(shù)，其值為n！項(xiàng)之和

式中k1,k2,...,kn是將序列1,2,...,n的元素次序交換k次所得到的一個(gè)序列，Σ號(hào)表示對(duì)k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末數(shù)D稱為n階方陣相應(yīng)的行列式.例如，四階行列式是4！個(gè)形為

的項(xiàng)的和，而其中a13a21a34a42相應(yīng)于k=3,即該項(xiàng)前端的符號(hào)應(yīng)為

(－1)3.

若n階方陣A=（aij）,則A相應(yīng)的行列式D記作

D=|A|=detA=det(aij)

若矩陣A相應(yīng)的行列式D=0，稱A為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣.

標(biāo)號(hào)集：序列1,2,...,n中任取k個(gè)元素i1,i2,...,ik滿足

1≤i1<i2<...<ik≤n(1)

i1,i2,...,ik構(gòu)成{1,2,...,n}的一個(gè)具有k個(gè)元素的子列，{1,2,...,n}的具有k個(gè)元素的滿足(1)的子列的全體記作C(n,k),顯然C(n,k)共有 ;個(gè)子列.因此C(n,k)是一個(gè)具有個(gè)元素的標(biāo)號(hào)集，C(n,k)的元素記作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

σ={i1,i2,...,ik}

是{1,2,...,n}的滿足(1)的一個(gè)子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),則σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。

性質(zhì)

①行列式A中某行(或列)用同一數(shù)k乘,其結(jié)果等于kA。

②行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的第i行(或列),一個(gè)是b1,b2,…,bn；另一個(gè)是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結(jié)果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對(duì)應(yīng)元上，結(jié)果仍然是A。

什么是行列式

行列式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)函數(shù)，將一個(gè)的矩陣A映射到一個(gè)純量，記作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f(shuō)，在n維度空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。

行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過(guò)程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。

行列式的特性可以被概括為一個(gè)多線性形式，這個(gè)本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)

行列式的豎直線記法

矩陣A的行列式有時(shí)也記作|A|。絕對(duì)值和范數(shù)|矩陣范數(shù)也使用這個(gè)記法，有可能和行列式的記法混淆。不過(guò)矩陣范數(shù)通常以雙垂直線來(lái)表示（如：），且可以使用下標(biāo)。此外，矩陣的絕對(duì)值是沒(méi)有定義的。因此，行列式經(jīng)常使用垂直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，一個(gè)矩陣：

　，

行列式det(A)也寫作 | A | ，或明確的寫作：

　　，

即把矩陣的方括號(hào)以細(xì)長(zhǎng)的垂直線取代

行列式的歷史

行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來(lái)的。行列式的提出可以追溯到十七世紀(jì)，最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德?萊布尼茨各自獨(dú)立得出，時(shí)間大致相同。

行列式的早期研究

關(guān)孝和在《解伏題之法》中首次運(yùn)用行列式的概念。1545年，卡當(dāng)在著作《大術(shù)》中給出了一種解兩個(gè)一次方程組的方法。他把這種方法稱為“母法”。這種方法和后來(lái)的克萊姆法則已經(jīng)很相似了，但卡當(dāng)并沒(méi)有給出行列式的概念。

1683年，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中首次引進(jìn)了行列式的概念。書中出現(xiàn)了、乃至的行列式，行列式被用來(lái)求解高次方程組。

1693年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨開(kāi)始使用指標(biāo)數(shù)的系統(tǒng)集合來(lái)表示有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組的系數(shù)。他從三個(gè)方程的系統(tǒng)中消去了兩個(gè)未知量后得到一個(gè)行列式。這個(gè)行列式不等于零，就意味著有一組解同時(shí)滿足三個(gè)方程。[5]由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數(shù)對(duì)來(lái)表示：代表第i行第j列。萊布尼茨對(duì)行列式的研究成果中已經(jīng)包括了行列式行列式的展開(kāi)和克萊姆法則，但這些結(jié)果在當(dāng)時(shí)并不為人所知。

任意階數(shù)的行列式

1730年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林?麥克勞林在他的《論代數(shù)》中已經(jīng)開(kāi)始闡述行列式的理論，記載了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并給出了四元一次方程組的一般解的正確形式，盡管這本書直到麥克勞林逝世兩年后（1748年）才得以出版。

1750年，瑞士的加布里爾?克拉默首先在他的《代數(shù)曲線分析引論》給出了n元一次方程組求解的法則，用于確定經(jīng)過(guò)五個(gè)點(diǎn)的一般二次曲線的系數(shù)，但并沒(méi)有給出證明。[8]其中行列式的計(jì)算十分復(fù)雜，因?yàn)槭嵌x在置換的奇偶性上的。

此后，關(guān)于行列式的研究逐漸增多。1764年，法國(guó)的艾蒂安?貝祖的論文中關(guān)于行列式的計(jì)算方法的研究簡(jiǎn)化了克萊姆法則，給出了用結(jié)式來(lái)判別線性方程組的方法[10]同是法國(guó)人的亞歷山德?西奧菲勒?范德蒙德則在1771年的論著中第一個(gè)將行列式和解方程理論分離，對(duì)行列式單獨(dú)作出闡述。這是數(shù)學(xué)家們開(kāi)始對(duì)行列式本身進(jìn)行研究的開(kāi)端。

1772年，皮埃爾-西蒙?拉普拉斯在論文《對(duì)積分和世界體系的探討》中推廣了范德蒙德著作里面將行列式展開(kāi)為若干個(gè)較小的行列式之和的方法，發(fā)展出子式的概念。一年后，約瑟夫?拉格朗日發(fā)現(xiàn)了的行列式與空間中體積的聯(lián)系。他發(fā)現(xiàn)：原點(diǎn)和空間中三個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四面體的體積，是它們的坐標(biāo)所組成的行列式的六分之一。

行列式在大部分歐洲語(yǔ)言中被稱為“determinant”（某些語(yǔ)言中詞尾加e或o，或變成s），這個(gè)稱呼最早是由卡爾?弗里德里希?高斯在他的《算術(shù)研究》中引入的。這個(gè)稱呼的詞根有“決定”意思，因?yàn)樵诟咚沟氖褂弥?，行列式能夠決定二次曲線的性質(zhì)。在同一本著作中，高斯還敘述了一種通過(guò)系數(shù)之間加減來(lái)求解多元一次方程組的方法，也就是現(xiàn)在的高斯消元法。

行列式的現(xiàn)代概念

進(jìn)入十九世紀(jì)后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。奧古斯丁?路易?柯西在1812年首先將“determinant”一詞用來(lái)表示十八世紀(jì)出現(xiàn)的行列式，此前高斯只不過(guò)將這個(gè)詞限定在二次曲線所對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式中?？挛饕彩亲钤鐚⑿辛惺脚懦煞疥嚥⑵湓赜秒p重下標(biāo)表示的數(shù)學(xué)家（垂直線記法是阿瑟?凱萊在1841年率先使用的）柯西還證明了行列式行列式的性質(zhì)（實(shí)際上是矩陣乘法），這個(gè)定理曾經(jīng)在雅克?菲利普?瑪利?比內(nèi)的書中出現(xiàn)過(guò)，但沒(méi)有證明。

十九世紀(jì)五十年代，凱萊和詹姆斯?約瑟夫?西爾維斯特將矩陣的概念引入數(shù)學(xué)研究中[12]。行列式和矩陣之間的密切關(guān)系使得矩陣論蓬勃發(fā)展的同時(shí)也帶來(lái)了許多關(guān)于行列式的新結(jié)果，例如阿達(dá)馬不等式、正交行列式、對(duì)稱行列式等等。

與此同時(shí)，行列式也被應(yīng)用于各種領(lǐng)域中。高斯在二次曲線和二次型的研究中使用行列式作為二次曲線和二次型劃歸為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)的判別依據(jù)。之后，卡爾?魏爾斯特拉斯和西爾維斯特又完善了二次型理論，研究了解析失敗 (PNG 轉(zhuǎn)換失敗; 請(qǐng)檢查是否正確安裝了 latex, dvips, gs 和 convert): \lambda 矩陣的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函數(shù)的積分大約始于十九世紀(jì)三十年代。1832年至1833年間卡爾?雅可比發(fā)現(xiàn)了一些特殊結(jié)果，1839年，歐仁?查爾?卡塔蘭發(fā)現(xiàn)了所謂的雅可比行列式。1841年，雅可比發(fā)表了一篇關(guān)于函數(shù)行列式的論文，討論函數(shù)的線性相關(guān)性與雅可比行列式的關(guān)系

現(xiàn)代的行列式概念最早在19世紀(jì)末傳入中國(guó)。1899年，華蘅芳和英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯了《算式解法》十四卷，其中首次將行列式翻譯成“定準(zhǔn)數(shù)”。1909年顧澄在著作中稱之為“定列式”。1935年8月，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)審查各種術(shù)語(yǔ)譯名，9月教育部公布的《數(shù)學(xué)名詞》中正式將譯名定為“行列式”。其后“行列式”作為譯名沿用至今。

行列式的直觀定義

一個(gè)n階方塊矩陣A的行列式可直觀地定義如下：

其中，Sn是集合{1,2,...,n}上置換的全體，即集合{1,2,...,n}到自身上的一一映射（雙射）的全體；

表示對(duì)S全部元素的求和，即對(duì)于每個(gè)σ∈S，在加法算式中出現(xiàn)一次；對(duì)每一個(gè)滿足1≤i,j≤n的數(shù)對(duì)(i,j)，ai,j是矩陣A的第i行第j列的元素。

σ表示置換σ∈Sn的置換的奇偶性，具體地說(shuō)，滿足1≤i<j≤n但σ(i)>σ(j)的有序數(shù)對(duì)(i,j)稱為σ的一個(gè)逆序。

如果σ的逆序共有偶數(shù)個(gè)，則sgn(σ) = 1，如果共有奇數(shù)個(gè)，則sgn(σ) = ? 1。

舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于3元置換σ=(2,3,1)（即是說(shuō)σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2個(gè)逆序（偶數(shù)個(gè)），因此sgn(σ) = 1，從而3階行列式中項(xiàng)a1,2a2,3a3,1的符號(hào)是正的。但對(duì)于三元置換σ=(3,2,1)（即是說(shuō)σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以數(shù)出共有3個(gè)逆序（奇數(shù)個(gè)），因此sgn(σ) = ? 1，從而3階行列式中項(xiàng)a1,3a2,2a3,1的符號(hào)是負(fù)號(hào)。

注意到對(duì)于任意正整數(shù)n，S_n共擁有n個(gè)元素，因此上式中共有n個(gè)求和項(xiàng)，即這是一個(gè)有限多次的求和。

對(duì)于簡(jiǎn)單的2階和3階的矩陣，行列式的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，而且恰好是每條主對(duì)角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對(duì)角線（右上至左下）元素乘積之和（見(jiàn)圖1中紅線和藍(lán)線）。

σ表示置換σ∈Sn的置換的奇偶性，具體地說(shuō)，滿足1≤i<j≤n但σ(i)>σ(j)的有序數(shù)對(duì)(i,j)稱為σ的一個(gè)逆序。

如果σ的逆序共有偶數(shù)個(gè)，則sgn(σ) = 1，如果共有奇數(shù)個(gè)，則sgn(σ) = ? 1。

舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于3元置換σ=(2,3,1)（即是說(shuō)σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2個(gè)逆序（偶數(shù)個(gè)），因此sgn(σ) = 1，從而3階行列式中項(xiàng)a1,2a2,3a3,1的符號(hào)是正的。但對(duì)于三元置換σ=(3,2,1)（即是說(shuō)σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以數(shù)出共有3個(gè)逆序（奇數(shù)個(gè)），因此sgn(σ) = ? 1，從而3階行列式中項(xiàng)a1,3a2,2a3,1的符號(hào)是負(fù)號(hào)。

注意到對(duì)于任意正整數(shù)n，S_n共擁有n個(gè)元素，因此上式中共有n個(gè)求和項(xiàng)，即這是一個(gè)有限多次的求和。

對(duì)于簡(jiǎn)單的2階和3階的矩陣，行列式的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，而且恰好是每條主對(duì)角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對(duì)角線（右上至左下）元素乘積之和（見(jiàn)圖1中紅線和藍(lán)線）。

2階矩陣的行列式：

3階矩陣的行列式：

但對(duì)于階數(shù)n≥4的方陣A，這樣的主對(duì)角線和副對(duì)角線分別只有n條，由于A的主、副對(duì)角線總條數(shù) = 2n < (n ? 1)n < n! = Sn的元素個(gè)數(shù)

因此，行列式的相加項(xiàng)中除了這樣的對(duì)角線乘積之外，還有其他更多的項(xiàng)。例如4階行列式中，項(xiàng)a1,2a2,3a3,1a4,4就不是任何對(duì)角線的元素乘積。不過(guò)，和2、3階行列式情況相同的是，n階行列式中的每一項(xiàng)仍然是從矩陣中選取n個(gè)元素相乘得到，且保證在每行和每列中都恰好只選取一個(gè)元素，而整個(gè)行列式恰好將所有這樣的選取方法遍歷一次。

另外，n×n矩陣的每一行或每一列也可以看成是一個(gè)n元向量，這時(shí)矩陣的行列式也被稱為這n個(gè)n元向量組成的向量組的行列式

行列式的定義及意義

行列式的計(jì)算方法都有哪些

計(jì)算行列式是指對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算。

比如行列式計(jì)算有以下幾種方法：化成三角形行列式法、降階法、拆成行列式之和法、范德蒙行列式、數(shù)學(xué)歸納法、逆推法。

一般行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)閐et的矩陣A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。

n階行列式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：行列互換，行列式不變。

性質(zhì)2：把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一個(gè)數(shù)K，等于用數(shù)K乘以行列式。

性質(zhì)3：如果行列式的某行(列）的各元素是兩個(gè)元素之和，那么這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和。

性質(zhì)4：如果行列式中有兩行（列）相同，那么行列式為零。（所謂兩行（列）相同就是說(shuō)兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素都相等）

性質(zhì)5：如果行列式中兩行（列）成比例，那么行列式為零。

性質(zhì)6：把一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變。

性質(zhì)7：對(duì)換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。