什么時候不能用等價無窮小 等價無窮小的使用條件舉例

極限計算里，哪些情況不能用等價無窮小，加減法在什么情況下不能用等價無窮小替換？等價無窮小怎么用，什么時候能用，什么時候不能用，能給幾個例子嗎？求極限時使用等價無窮小的條件，為什么有時候不能用等價無窮小替換？求極限什么時候不能用等價無窮小替換？

本文導航

• 數(shù)學里極限計算中常用的等價符號
• 加減無窮小代換條件
• 等價無窮小的使用條件舉例
• 等價無窮小代換求極限例題
• 等價無窮小替換公式是固定的嗎
• 求極限什么時候討論正負無窮

數(shù)學里極限計算中常用的等價符號

第一二問是可以的，最后一問，好像沒有無窮小的事。

f、與g的極限都存在，才能進行極限的運算：

設(shè)f的極限為A，g的極限是B，

則

limf±limg=A±B

limf×limg=A.B

limf/limg=A/B，（B≠0）；

（limf）^m=A^m,m是常數(shù)；

如果A是無窮小，B是無窮大，成為0*∞不定式，其值是不確定的，可以化成0/0型（0/（1/∞））或者∞/∞（∞/（1/0）），用洛必達法則。

另外1^∞，也是不定式，取對數(shù)成為ln（1^∞）=∞ln1=∞.0，不定。這里1是某個極限為1的變量（函數(shù)），不是指常數(shù)1.

其實，這條規(guī)則可以靈活運用：

（1）可以把∞看成極限，進行運算，只要注意上面的說的幾點不確定的情況的處理；1/∞=0,1/0=∞，這里0指無窮?。?/p>

（2）極限不存在，有一種特殊情況，是有界，但是循環(huán)變化，如1，-1,1，-1，...；sin（1/x），x-->0，等等。有界，可以通過夾逼法求解，如果夾逼法無解，一般結(jié)果也無解。如果把“不存在但是有界”也當成一種結(jié)果。

比如，上面的A存在，B是“不存在但是有界”；

則

limf±limg=A±B，“不存在但是有界”

limf×limg=A.B，A≠0，“不存在但是有界”；A=0,0；

limf/limg=A/B，（B≠0）；A≠0，“不存在”；A=0，B≠0,0；

進行這些靈活變化之后，其實極限運算，可以擴大應(yīng)用范圍。但是，經(jīng)過嚴格證明的極限運算規(guī)則，還是要兩個極限都存在這個大前提的。

其他情況的運算，雖然原則上是可以的，但是需要自己去討論、證明，不是現(xiàn)成的理論、規(guī)則。一般也不是總是正確的。

結(jié)論：極限運算規(guī)則+洛必達法則+夾逼法+原始極限定義證明法，可以解決所有的極限問題。最后的一項，是萬能的。是其他方法的理論基礎(chǔ)。

加減無窮小代換條件

加減時一般不能用等價無窮小替換，加減時候等價無窮小替換的條件是：lim a/b中極限存在，且極限不等于-1，則a+b中的無窮小a和b可以用它們的等價無窮小替換。除此之外，加減法都不能用等價無窮小替換。

在對無窮小比無窮小求極限的過程中，可以把分子或分母中的某個因子用等價無窮小替換。

其實大部分的加減法替換能成功都是偶然的。如果硬要說條件的話就是替換后必須是原極限要變成“兩個極限加減的形式而且這兩個極限都必須存在”

比如

lim (sinx+tanx+x)/x （x->0)

=lim (x+x+x)/x

=3

擴展資料：

求極限時，使用等價無窮小的條件：

被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

當x→0時，等價無窮?。?/p>

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~1/2x^2

（6）a^x-1~xlna

（7）e^x-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

等價無窮小的使用條件舉例

①被代換的量，在取極限的時候極限值不為0；

②被代換的量作為加減的元素時就不可以使用，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換。

無窮小相當于泰勒公式展開到第一項，基本什么時候都可以用，應(yīng)用條件是:等價代換的需為整個式子的因子，而不能部分代換。

等價無窮小數(shù)學分析的基礎(chǔ)概念。它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數(shù)值(極限值)。

極限方法是數(shù)學分析用以研究函數(shù)的基本方法，分析的各種基本概念(連續(xù)、微分、積分和級數(shù))都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，然后才有分析的全部理論、計算和應(yīng)用.所以極限概念的精確定義是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。

等價無窮小代換求極限例題

求極限時，使用等價無窮小的條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然后運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續(xù)可導函數(shù)。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數(shù)展開，而國內(nèi)普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內(nèi)甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經(jīng)常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小后的結(jié)果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

等價無窮小替換公式是固定的嗎

加減法中不能用等價無窮小，乘除法中才能用等價無窮小。

大多數(shù)用等價無窮小的錯誤，都是在加減法中使用的緣故。

求極限什么時候討論正負無窮

1、當被代換的量作為加減的元素時就不可以使用，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換。

2、被代換的量，在取極限的時候極限值不為0時候不能用等價無窮小替換。

在同一自變量的趨向過程中，若兩個無窮小之比的極限為1，則稱這兩個無窮小是等價的。無窮小等價關(guān)系刻畫的是兩個無窮小趨向于零的速度是相等的。

擴展資料：

等價無窮小替換通常計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限時，使用等價無窮小的條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。