什么是線性特征向量 特征向量對(duì)應(yīng)唯一的特征值嗎

什么是特征向量？什么是特征向量？特征值？線性代數(shù)特征向量，什么是線性無關(guān)特征向量？線性無關(guān)的特征向量是什么？特征值和特征向量是什么？

本文導(dǎo)航

• 特征向量怎么看
• 特征向量對(duì)應(yīng)唯一的特征值嗎
• 線性代數(shù)特征值通俗解釋
• 線性無關(guān)的特征向量組怎么求
• 怎么判斷有幾個(gè)線性無關(guān)特征向量
• 特征值有幾種對(duì)應(yīng)的特征向量

特征向量怎么看

抱歉，自己學(xué)業(yè)不精，網(wǎng)上找的答案，希望有幫助特征向量的幾何意義特征向量確實(shí)有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特征向量的問題，當(dāng)然是方陣，這里不討論

特征向量對(duì)應(yīng)唯一的特征值嗎

定義：Aξ=λξ;，λ是特征值ξ是特征向量

意思就是;一個(gè)矩陣作用在一個(gè)向量上，相當(dāng)于一個(gè)數(shù)作用這個(gè)向量上，這個(gè)數(shù)就是特征值，這個(gè)向量就是特征向量

如果你指得講清楚是講清楚特征值和特征向量的幾何意義，可以追問，我也可以給你講清楚，只不過過程相當(dāng)復(fù)雜，你要不需要我就先不講了，但是我估計(jì)即使說明白，對(duì)你的學(xué)習(xí)沒什么有用的幫助，說實(shí)話大學(xué)就算你要考研，特征值特征向量也就是背公式就解決了。

幾何意義比較難解釋，接下來的解釋著重說明概念，略微犧牲準(zhǔn)確性。首先要明白的是矩陣的幾何意義，拿3x3的方陣舉例，如果這個(gè)3x3的方陣三個(gè)向量線性無關(guān)（行向量列向量都行），則可以張成一個(gè)3維空間，以此類推，如果一個(gè)nxn的矩陣中n個(gè)向量線性無關(guān)，則可以張成一個(gè)n維空間。這里的n個(gè)向量就稱為這個(gè)空間的基。比如常用的直角坐標(biāo)系，可以認(rèn)為是(1,0),(0,1)兩個(gè)向量張成的，這樣垂直且長度為1的向量構(gòu)成的基叫做標(biāo)準(zhǔn)正交基，是基的特殊形式。

再接著理解矩陣乘法的意義，按照上面對(duì)矩陣的描述，矩陣乘法可以理解為，將一個(gè)空間過渡到（投影）另一個(gè)空間，而過度過程的幾何變化，是旋轉(zhuǎn)和拉伸。比如1*5，可以認(rèn)為是在一維空間里，將1拉伸到5。同時(shí)將x軸旋轉(zhuǎn)0度。 那么這里有三個(gè)重要的特征：旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)角度、沿旋轉(zhuǎn)軸方向的拉伸程度。只要有這三個(gè)量，就能描述一切矩陣運(yùn)算的幾何變化過程。 要注意的是，旋轉(zhuǎn)軸和基不是一個(gè)東西。

我們舉個(gè)現(xiàn)實(shí)的例子，把你所處的環(huán)境想象成一個(gè)三維空間。找一張A4紙，在上面隨意畫一個(gè)帶箭頭的線段，把這個(gè)線段當(dāng)作一個(gè)向量。接下來把這張紙立起來，這樣這個(gè)向量就是三維空間中的向量了。然后，以A4紙的任意一條邊作為旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)一下這張紙，這樣你就實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)操作。由于A4紙沒法拉伸，你就只能想象一下了，把你這張A4紙想成有彈力的，你沿著你選的旋轉(zhuǎn)軸拉長了這張紙，你畫的這個(gè)向量也相應(yīng)的變長了。我問你，這個(gè)時(shí)候的向量，和一開始那個(gè)向量在空間坐標(biāo)上變化是怎樣的？

我覺得你回答不出來，因?yàn)榭臻g旋轉(zhuǎn)對(duì)坐標(biāo)的影響過于復(fù)雜，何況還有個(gè)拉伸。但是此時(shí)想象一種特殊情況，那就是旋轉(zhuǎn)軸和向量重合。也就是你畫的這個(gè)向量，剛好就在A4紙的邊上，和邊重合了。你再沿著這條邊旋轉(zhuǎn)A4紙，轉(zhuǎn)多少度向量的位置都不會(huì)發(fā)生變化。只有當(dāng)你要進(jìn)行拉伸的時(shí)候，這個(gè)向量才發(fā)生變化。

發(fā)現(xiàn)和最上面的公式的描述有什么關(guān)系了么：“一個(gè)矩陣作用在一個(gè)向量上，相當(dāng)于一個(gè)數(shù)作用這個(gè)向量上”。一個(gè)矩陣包含著旋轉(zhuǎn)和拉伸兩種變化，而作用在一個(gè)變量上，只體現(xiàn)出拉伸，沒有旋轉(zhuǎn)。這說明這個(gè)向量，和矩陣所代表的旋轉(zhuǎn)操作中的旋轉(zhuǎn)軸是重合的。而矩陣乘法的旋轉(zhuǎn)軸，就是特征向量，而特征值，就是指在這個(gè)軸方向上的拉伸程度。

線性代數(shù)特征值通俗解釋

特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。解： |λE-A| = |λ-1 -1 -3| | 0 λ-3 0| |-2 -2 λ| |λE-A| = (λ-3)* |λ-1 -3| |-2 λ| |λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2 特征值 λ = -2， 3， 3 對(duì)于 λ = -2， λE-A = [-3 -1 -3] [ 0 -5 0] [-2 -2 -2] 行初等變換為 [ 1 1 1] [ 0 1 0] [ 0 2 0] 行初等變換為 [ 1 0 1] [ 0 1 0] [ 0 0 0] 得特征向量 (1 0 -1)^T。對(duì)于重特征值 λ = 3， λE-A = [ 2 -1 -3] [ 0 0 0] [-2 -2 3] 行初等變換為 [ 2 -1 -3] [ 0 -3 0] [ 0 0 0] 行初等變換為 [ 2 0 -3] [ 0 1 0] [ 0 0 0] 得特征向量 (3 0 2)^T。答：特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。 擴(kuò)展資料特征值是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個(gè)特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。矩陣的特征向量是矩陣?yán)碚撋系闹匾拍钪唬兄鴱V泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非簡并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

線性無關(guān)的特征向量組怎么求

判斷特征向量線性無關(guān)的方法：

1、顯式向量組

將向量按列向量構(gòu)造矩陣A。

對(duì)A實(shí)施初等行變換, 將A化成行梯矩陣。

梯矩陣的非零行數(shù)即向量組的秩。

如果向量組的秩 < 向量組所含向量的個(gè)數(shù)，則向量組線性相關(guān)。

否則向量組線性無關(guān)。

2、隱式向量組

一般是設(shè)向量組的一個(gè)線性組合等于0。

若能推出其組合系數(shù)只能全是0，則向量組線性無關(guān)。

否則向量組線性相關(guān)。

例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

這個(gè)方程組有且只有零解，即x＝y(tǒng)＝z＝0，故線性無關(guān)。

擴(kuò)展資料：

簡單的相關(guān)性和無關(guān)性的判斷：

1、整體線性無關(guān)，局部必線性無關(guān)。

2、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)，則此向量組線性相關(guān)。

3、若一向量組線性無關(guān)，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關(guān)。

4、若一向量組線性相關(guān)，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關(guān)。

怎么判斷有幾個(gè)線性無關(guān)特征向量

特征向量系是線性代數(shù)的重要概念之一。若線性變換的特征向量系所含向量個(gè)數(shù)等于 n，則稱其特征向量系是完全的。

判斷特征向量線性無關(guān)的方法：1、顯式向量組將向量按列向量構(gòu)造矩陣A。對(duì)A實(shí)施初等行變換, 將A化成行梯矩陣。梯矩陣的非零行數(shù)即向量組的秩。如果向量組的秩 < 向量組所含向量的個(gè)數(shù)，則向量組線性相關(guān)。否則向量組線性無關(guān)。2、隱式向量組一般是設(shè)向量組的一個(gè)線性組合等于0。若能推出其組合系數(shù)只能全是0，則向量組線性無關(guān)。否則向量組線性相關(guān)。例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。這個(gè)方程組有且只有零解，即x＝y(tǒng)＝z＝0，故線性無關(guān)。

判斷特征向量線性無關(guān)的方法：1、顯式向量組將向量按列向量構(gòu)造矩陣A。對(duì)A實(shí)施初等行變換, 將A化成行梯矩陣。梯矩陣的非零行數(shù)即向量組的秩。如果向量組的秩 < 向量組所含向量的個(gè)數(shù)，則向量組線性相關(guān)。否則向量組線性無關(guān)。2、隱式向量組一般是設(shè)向量組的一個(gè)線性組合等于0。若能推出其組合系數(shù)只能全是0，則向量組線性無關(guān)。否則向量組線性相關(guān)。例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。這個(gè)方程組有且只有零解，即x＝y(tǒng)＝z＝0，故線性無關(guān)。

特征值有幾種對(duì)應(yīng)的特征向量

特征向量是一個(gè)非簡并的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

特征值是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念。

線性變換通常可以用其特征值和特征向量來完全描述。特征空間是一組特征值相同的特征向量?！疤卣鳌币辉~來自德語的eigen。

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法

第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）。