多項式商環(huán)怎么 有限域上的極小多項式,次數(shù)怎么求

多項式環(huán)，有限域上的極小多項式,次數(shù)怎么求？什么是數(shù)學(xué)里面的環(huán)比如多項式環(huán)是什么意思？一元多項式環(huán)怎么理解。？與一元多項式的區(qū)別？多項式的運(yùn)算法則，商環(huán)內(nèi)環(huán)怎么取下來的？

本文導(dǎo)航

• 多項式環(huán)
• 有限域上的極小多項式,次數(shù)怎么求
• 什么是數(shù)學(xué)里面的環(huán)比如多項式環(huán)是什么意思
• 一元多項式環(huán)怎么理解。？與一元多項式的區(qū)別
• 多項式的運(yùn)算法則
• 商環(huán)內(nèi)環(huán)怎么取下來的

多項式環(huán)

看抽象代數(shù)書啊

環(huán)是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)

環(huán)里有兩種基本運(yùn)算+和*，加法有交換律和結(jié)合律，乘法有結(jié)合律，乘法對加法有左右分配律，這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為環(huán)

多項式乘法和加法構(gòu)成了一個環(huán)，稱為多項式環(huán)。

有限域上的極小多項式,次數(shù)怎么求

問題的敘述有些概念不清.

要討論極小多項式必需指明是哪個元素在哪個域上的極小多項式.

具體來說, 若K是F的一個擴(kuò)域, a是K中的元素并在F上為代數(shù)元,

則a所滿足的, 系數(shù)在F中的, 首一不可約(在F[x]中)多項式(是唯一的)就是a在F上的極小多項式.

對于K中的不同元素, 極小多項式的次數(shù)可能不同(即便有限域也一樣).

因此不能簡單討論"這個域上的極小多項式的次數(shù)".

另外, Fq的構(gòu)造也有點(diǎn)問題.

應(yīng)該是任取Fp[x]中的m次不可約多項式f(x), 生成F[x]中的素理想(f(x)),

則商環(huán)Fp[x]/(f(x))是一個q元有限域Fq.

也許你是想問Fq在Fp上的生成元的極小多項式的次數(shù)? 這樣的話就是m.

因為a在F上的極小多項式次數(shù)就是F[a]/F的擴(kuò)張次數(shù).

什么是數(shù)學(xué)里面的環(huán)比如多項式環(huán)是什么意思

環(huán)的定義

一個環(huán)是由一個集合R和兩種二元運(yùn)算 + 和 · 組成,這兩種運(yùn)算可稱為加法和乘法.一個環(huán)必須遵守以下規(guī)律：

(R, +)形成一個可交換群,其單位元稱作零元素,記作‘0’.即：

(a + b) = (b + a)

(a + b) + c = a + (b + c)

0 + a = a + 0 = a

?a ?(?a) 滿足 a + ?a = ?a + a = 0

(R, ·)遵守：

1·a = a·1 = a （僅限于含幺環(huán)）

(a·b)·c = a·(b·c)

乘法關(guān)于加法滿足分配律：

a·(b + c) = (a·b) + (a·c)

(a + b)·c = (a·c) + (b·c)

注意乘法中的·常常被省略,所以 a·b 可簡寫為 ab. 此外,乘法是比加法優(yōu)先的運(yùn)算,所以 a + bc 其實是 a + (b·c).

幾類特殊的環(huán)

含單位元環(huán)：

在環(huán)的定義中,對于乘法單位(1)的存在并沒有做明確的要求.如果一個環(huán)R對于乘法有單位元存在(稱幺元素或幺元或單位元,記作‘1’),則這個環(huán)稱為含幺環(huán)或含單位元環(huán).

交換環(huán)：

雖然環(huán)的定義要求加法具有交換律,但并沒有要求乘法也具有交換律.如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba,那么這個環(huán)就稱為交換環(huán).

除環(huán)：

主條目：除環(huán)

如果含單位元環(huán)R去掉關(guān)于加法的單位元0后,對于乘法形成一個群（一般來說環(huán)R對乘法形成半群）,那么這個環(huán)就稱為除環(huán).除環(huán)不一定是交換環(huán),比如四元數(shù)環(huán).交換的除環(huán)就是域.

無零因子環(huán)：

一般來說環(huán)R對乘法形成半群,但R\{0}對乘法不一定形成半群.因為如果有兩個非零元素的乘積是零,R\{0}對乘法就不是封閉的.如果R\{0}對乘法仍然形成半群,那么這個環(huán)就稱為無零因子環(huán).

這個定義實際上等價于任意兩個非零元素的乘積非零.

整環(huán)：

主條目：整環(huán)

整環(huán)是含單位元的無零因子的交換環(huán).例如多項式環(huán)和整數(shù)環(huán).

主理想環(huán)：

主條目：主理想環(huán)

每一個理想都是主理想的整環(huán)稱為主理想環(huán).

唯一分解環(huán)：

主條目：唯一分解環(huán)

如果一個整環(huán)R中每一個非零非可逆元素都能唯一分解,稱R是唯一分解環(huán).

商環(huán)：

主條目：商環(huán)

素環(huán)：

主條目：素環(huán)

例子：

整數(shù)環(huán)是一個典型的交換且含單位環(huán).

有理數(shù)環(huán),實數(shù)域,復(fù)數(shù)域都是交換的含單位元環(huán).

所有項的系數(shù)構(gòu)成一個環(huán)A的多項式全體A[X]是一個環(huán).稱為A上的多項式環(huán).

n為正整數(shù),所有n×n的實數(shù)矩陣構(gòu)成一個環(huán).

環(huán)的理想

主條目：理想

右理想： 令R是環(huán), 那么環(huán)R與其加法 + 構(gòu)成阿貝爾群.令I(lǐng)是R的子集.那么I稱為R的右理想 如果以下條件成立：

(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群.

對于任意 和 有 .

左理想： 類似地,I稱為R的左理想如果以下條件成立：

(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群.

對于任意 和 有 .

如果I既是右理想,也是左理想,那么I就叫做雙邊理想,簡稱理想.

例子：

整數(shù)環(huán)的理想：整數(shù)環(huán)Z只有形如的nZ理想.

除環(huán)的理想：除環(huán)中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想.

一般性質(zhì)：

定理1 在環(huán)中,(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想.

定理2 在環(huán)中,(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想.

對于R的兩個理想A,B,記.按定義不難證明下面的基本性質(zhì)：

(1) 如果A是R的左理想,則AB是R的左理想；

(2) 如果B是R的右理想,則AB是R的右理想；

(3) 如果A是R的左理想,B是R的右理想,則AB是R的雙邊理想.

如果A環(huán)R的一個非空子集,令=RA+AR+RAR+ZA,則是環(huán)R的理想,這個理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集.同群的生成子群類似,是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想.下面是生成理想的幾種特殊情況：

(1) 當(dāng)是交換環(huán)時,=RA+ZA

(2) 當(dāng)是有單位元1的環(huán)時,=RAR

(3) 當(dāng)是有單位元交換環(huán)時,=RA

主理想：如果是個n元集合,則記,稱是有限生成理想.特別當(dāng)是單元素集時,稱為環(huán)R的主理想.注意作為生成元一般不是唯一的,如.的一般形式是：

性質(zhì)：

幾類特殊環(huán)中的主理想：

(1) 如果是交換環(huán),則

(2) 如果是有單位元的環(huán),則

(3) 如果是有單位元的交換環(huán),則

真理想： 如果I是R的真子集,I就叫做R的真理想.

極大理想： 一個真理想I被稱為R的極大理想,如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集.

極大左理想：設(shè) I 是環(huán)R的左理想,如果并且在 I 與R之間不存在真的左理想,則稱 I 是環(huán)R的一個極大左理想.極大左理想與極大理想之間有如下關(guān)系：

(1)如果 I 是極大左理想,又是雙邊理想,則 I 是極大理想.

(2)極大理想未必是極大左理想.

除環(huán)的零理想是極大理想.在有單位元的環(huán)中,如果零理想是其極大理想,稱這種環(huán)是單環(huán).除環(huán)是單環(huán),域也是單環(huán).反之則不對,即存在不是除環(huán)的單環(huán).

定理1 在整數(shù)環(huán)Z中,由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數(shù).

定理2 設(shè)R是有單位元1的交換環(huán).理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環(huán)R / I是域.

定理3 設(shè) I 是環(huán)R的左理想,則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有I + J = R.

素理想：真理想I被稱為R的素理想,如果對于R的任意理想A,B, 可推出 或 .

素環(huán)：如果環(huán)R的零理想是素理想,則稱R是素環(huán)(或質(zhì)環(huán)).無零因子環(huán)是素環(huán).在交換環(huán)R中,真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環(huán).

半素理想：設(shè) I 是環(huán)R的理想,并且.如果對任意理想P,由,可得,則稱 I 是環(huán)R的半素理想.

顯然,半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想,因為素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想.

一元多項式環(huán)怎么理解。？與一元多項式的區(qū)別

一個集合，全體一元多項式都在里面

多項式的運(yùn)算法則

1、幾個多項式相加減的法則是：首先把帶減號的多項式中的每個單項式都變號合成一個多項式，然后合并同類項，并按字典排列法寫出結(jié)果。

例如：設(shè)A=7a2-2ab+b2，B=6a2-ab-b2，C=4a2+3ab+2b2，則A-B+C=A+B′+C，其中B′=-B=-6a2+ab+b2。

即A-B+C=(7a2-2ab+b2)-(6a2-ab-b2)+(4a2+3ab+2b2)=7a2-2ab+b2-6a2+ab+b2+4a2+3ab+2b2=5a2+2ab+4b2 。

2、由多項式乘多項式法則可以得到（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd

上面的運(yùn)算過程，也可以表示為（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，多項式乘以多項式就是利用乘法分配律法則得出的。

擴(kuò)展資料

1、整式加減計算的一般步驟是：

(1)根據(jù)題意列出代數(shù)式；

(2)根據(jù)去括號法則去掉括號；

(3)合并同類項。

不難看出，整式的加減實質(zhì)上是合并同類項。因此，整式加減的結(jié)果還是整式。

2、整式的加減能用豎式計算。計算的步驟是

(1)把一個加式或者被減式按照某一個字母的降冪(或升冪)排列成一行，如果有缺項留出空位；

(2)再把其它加式或者減式寫在它的下面，使同類項對齊；

(3)然后相加或相減 。

商環(huán)內(nèi)環(huán)怎么取下來的

你這個是商環(huán)手術(shù)，這個外環(huán)是手術(shù)醫(yī)生取下來。內(nèi)環(huán)是自己脫落。如果傷口沒有愈合內(nèi)環(huán)不能脫落。提前脫落會導(dǎo)致傷口裂開。盡量保持通風(fēng)干燥，晾著，會自己脫落【摘要】

商環(huán)內(nèi)環(huán)怎么取下來的【提問】

你這個是商環(huán)手術(shù)，這個外環(huán)是手術(shù)醫(yī)生取下來。內(nèi)環(huán)是自己脫落。如果傷口沒有愈合內(nèi)環(huán)不能脫落。提前脫落會導(dǎo)致傷口裂開。盡量保持通風(fēng)干燥，晾著，會自己脫落【回答】

確認(rèn)一下是這個品牌的的環(huán)，由于去了外地，不能及時回到原來的醫(yī)院取環(huán)，外環(huán)已自行取下來了，內(nèi)環(huán)還在上面，內(nèi)環(huán)可以不取是吧？不取怕有問題?！咎釂枴?/p>

內(nèi)環(huán)是不是要很久才脫落呀？大概要多久，還能碰水，現(xiàn)在洗澡還需要包嗎？【提問】

最好是不要取，讓它自己脫落【回答】

般大致的時間為1-2周，所以不必著急，避免沾水【回答】

不要沾水，盡量忍著吧，脫落了再去洗澡【回答】