矩陣對角化是什么意思 矩陣相似對角化步驟
關(guān)于矩陣相似對角化的概念問題！，一個矩陣可以對角化是不是就是說這個矩陣是對角矩陣，矩陣可對角化的重要條件是什么？正交對角化是什么意思？和普通的對角化又啥區(qū)別？研究矩陣的相似對角化的意義，什么叫對角化？
本文導(dǎo)航
矩陣相似對角化步驟
能夠相似對角化有兩種可能
第一種：有N個不同的特征值
第二種：有相同的特征值，N重特征值有N個線性無關(guān)的特征向量。
兩種情況合二為一就是：有N個線性無關(guān)的特征向量。
所以說，A可相似對角化的話，n階方陣A的n個特征值不一定全都不相等，可能包含有重根在里面。
“可是A有n個互不相等的特征向量，也能推出A可相似對角化。但是！反過來就不行了.....”
不明白你的意思
矩陣可對角化的兩個必要條件
不能這么說的
除對角線上的元素外，其余的元素都是零的方陣，叫做對角矩陣。 這個是定義的
你說的這個，只能說明，它可對角化。
對稱矩陣可對角化的條件
n階方陣可進行對角化的重要條件是：
1、n階方陣存在n個線性無關(guān)的特征向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特征值,那么矩陣必然存在相似矩陣
2、如果階n方陣存在重復(fù)的特征值,則每個特征值的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于該特征值的重
復(fù)次數(shù)。
擴展資料
特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、計算機等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。
設(shè)A為n階矩陣，若存在常數(shù)λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。
參考資料百度百科-特征值
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對角化的計算步驟
正交對角化要求變換矩陣是正交矩陣，即在求特征值特征向量后要進行施密特正交化。
一般對角化無需施密特正交化，只要求出對應(yīng)于特征值的特征向量即可
怎么判斷一個矩陣相似對角化
理論上看，意義是明顯的。相似是一種等價關(guān)系，對角化相當(dāng)于對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項式，特征根，行列式……如果只關(guān)心這類性質(zhì)，那么相似的矩陣可以看作沒有區(qū)別的，這時研究一個一般的可對角化的矩陣，只要研究它的標(biāo)準(zhǔn)形式——一個對角矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。這個過程相當(dāng)于在一個等價類中選取最順眼的元素研究。
另外，對角化突出了矩陣的特征值，而過度矩陣T反映了特征向量的信息，對角化過程的直觀意義還是很明顯的。再結(jié)合正交矩陣的概念，可以得到一些不平凡的結(jié)論，例如實對稱矩陣總可以對角化。
實踐中的矩陣對角化作用也很大。別的不說，比如要算一個一般的3階實對稱矩陣A的n次冪，n較大時，按矩陣乘法定義去計算是相當(dāng)繁瑣的，計算復(fù)雜度呈指數(shù)型增長。但是如果把A可以對角化(實對稱矩陣總是可以對角化的)，寫為=T^(-1)PT,P是對角陣。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的計算是很簡單的，只要把各特征值^n即可，此時計算A^n的復(fù)雜度幾乎與n無關(guān)。
以上純屬個人見解，僅供LZ參考:)
對角化與秩的關(guān)系
設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對角化，就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P，使M=PDP。設(shè)f為典范對應(yīng)于M的Kn的自同態(tài)，將M對角化，就是確定Kn的一個基，使在該基中對應(yīng)f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個n×n矩陣 ，如果對于 ，則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣 ，使 的結(jié)果為對角矩陣，則稱矩陣 將矩陣 對角化。對于一個矩陣來說，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關(guān)的特征向量，則該矩陣可被對角化
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