曲面積分怎么算 計算第二類曲面積分？

【急】對面積的曲面積分公式，高數(shù)的曲面積分問題，計算第二類曲面積分。

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• 【急】對面積的曲面積分公式
• 高數(shù)的曲面積分問題？
• 計算第二類曲面積分？

【急】對面積的曲面積分公式

對面積的曲面積分在計算時還有一項ds需要計算，

ds=√[1+(?z/?x)2+(?z/?y)2]dxdy

這是投影到xoy面的計算結果，里面有兩個偏導數(shù)需要計算，因此在計算之前需要將曲面方程寫為z=z(x,y)的形式，然后才能求偏導計算。

現(xiàn)在回到你的問題，若是對長方形的上面那個面積分，這個面的方程為：z=常數(shù)，也就是說，這個曲面方程只能寫成z=z(x,y)的形式，因此，只能往xoy面投影。若想往yoz面投影，需要將曲面寫為x=x(y,z)的形式，這個平面無法寫出這個形式。

高數(shù)的曲面積分問題？

第1題，是第二類曲面積分，曲面是拋物面，在各個坐標面上投影，分別是

兩個類似的拋物線與水平線圍成的平面、一個圓，

分別計算這些投影面上的平面積分，最終相加即可。

當然，還有第二種方法，就是利用高斯公式：

將原來的曲面積分，補充一個圓形平面（圓心在(0,2,0)，半徑為1）積分，得到閉曲面積分，從而可以化成三重積分，

正好得到拋物體體積。

也即最終等于拋物體體積減去一個圓形平面（與xoz平面平行，即拋物體的底面，此時滿足dy=0, y=2）的積分（也即∫∫(-6)dxdz = 6圓面積 =6π），

第2題

曲線L，是一個以原點（也是半徑為a的球體球心）為圓心的圓形平面的邊界，可以應用Stokes公式，將閉曲線積分，轉換成曲面積分

P=y-4

Q=z+3

R=x+1

求各個偏導之后，正好得到曲面面積，即圓面積πa^2

計算第二類曲面積分？

區(qū)別是：第一類曲面積分是對面積的曲面積分。

第二類曲面積分是對坐標軸的曲面積分。

對面積的曲面積分和對坐標軸的曲面積分是可以轉化的；

兩類曲面積分的區(qū)別在于形式上積分元素的不同，第一類曲面積分的積分元素是面積元素dS，例如：在積分曲面Σ上的對面積的曲面積分：∫∫f(x，y，z)dS；

而第二類曲面積分的積分元素是坐標平面dxdy，dydz或dxdz，例如：在積分曲面Σ上的對坐標平面的曲面積分：∫∫P(x，y，z)dxdy+Q(x，y，z)dydz+R(x，y，z)dxdz。