相量頻域是什么 s域與頻域

什么叫頻域？頻域是什么？有沒有人可以解釋一下相量域（Phasor domain）和傅里葉級數(shù)（Fourier series）。

本文導(dǎo)航

• 時域和頻域有什么關(guān)系
• s域與頻域
• 傅里葉變換的收斂條件

時域和頻域有什么關(guān)系

頻域就是一個信號所具有的所有正弦分量的頻率的總合，任何一個周期信號都可以分解為以不同振幅和頻率或相位的正弦波為分量的級數(shù)，所有分量的頻率的總合叫該信號的頻域，頻域和時域都是對非正弦信號的分析方法。

樓上不知道是真懂還是只懂皮毛，時域（信號對時間的函數(shù)）和頻域（信號對頻率的函數(shù)）的變換在數(shù)學(xué)上是通過積分變換實(shí)現(xiàn)，對周期信號可以直接使用傅立葉變換，對非周期信號則要進(jìn)行周期擴(kuò)展，使用拉普拉斯變換。而傅式級數(shù)只是對信號的分解。

s域與頻域

頻域概述　　頻域是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標(biāo)系。

　　對任何一個事物的描述都需要從多個方面進(jìn)行，每一方面的描述僅為我們認(rèn)識這個事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車，我可以這樣描述它

　　方面1：顏色，長度，高度。

　　方面2：排量，品牌，價格。

　　方面3：。。。。

　　而對于一個信號來說，它也有很多方面的特性。如果信號強(qiáng)度隨時間的變化規(guī)律（時域特性），信號是由哪些單一頻率的信號合成的（頻域特性）頻域分析　　對信號進(jìn)行時域分析時，有時一些信號的時域參數(shù)相同，但并不能說明信號就完全相同。因?yàn)樾盘柌粌H隨時間變化，還與頻率、相位等信息有關(guān)，這就需要進(jìn)一步分析信號的頻率結(jié)構(gòu)，并在頻率域中對信號進(jìn)行描述。動態(tài)信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數(shù)和傅立葉變換實(shí)現(xiàn)。周期信號靠傅立葉級數(shù)，非周期信號靠傅立葉變換。

舉例　　一個頻域分析的簡例可以通過圖1：一個簡單線性過程中小孩的玩具來加以說明。該線性系統(tǒng)包含一個用手柄安裝的彈簧來懸掛的重物。小孩通過上下移動手柄來控制重物的位置。

　　任何玩過這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來移動手柄，那么，重物也會以相同的頻率開始振蕩，盡管此時重物的振蕩與手柄的移動并不同步。只有在彈簧無法充分伸長的情況下，重物與彈簧會同步運(yùn)動且以相對較低的頻率動作。

　　隨著頻率愈來愈高，重物振蕩的相位可能更加超前于手柄的相位，也可能更加滯后。在過程對象的固有頻率點(diǎn)上，重物振蕩的高度將達(dá)到最高。過程對象的固有頻率是由重物的質(zhì)量及彈簧的強(qiáng)度系數(shù)來決定的。

　　當(dāng)輸入頻率越來越大于過程對象的固有頻率時，重物振蕩的幅度將趨于減少，相位將更加滯后（換言之，重物振蕩的幅度將越來越少，而其相位滯后將越來越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動，而與手柄的運(yùn)動方向恰恰相反。

傅里葉變換的收斂條件

一、什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來了！！

如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

（好吧，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）

時域的基本單元就是“1”秒，如果我們將一個角頻率為ω0的正弦波cos（ω0t）看做基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是ω0。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓。

Fourier series square wave circles animation.gif

[Fourier series sawtooth wave circles animation.gif]

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是—

再清楚一點(diǎn)：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。

Fourier_series_and_transform.gif

老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)……

三、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個分割線。

先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？

好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說一個更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘嬎慵訙p乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。

于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜?！?/p>

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來一張大集合：

四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）

傅里葉變換實(shí)際上是對一個周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。

所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個連續(xù)的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見過大海么？

為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向

以上是離散譜，么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。

不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。

不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個工具就是——

五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當(dāng)它乘以 3 的時候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段，而當(dāng)它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度。

我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了 90 度。

同時，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個功能——旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

這個公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于 Pi 的時候。

經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù) 1 和0，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡潔，這么美麗??！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“

這個公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動的點(diǎn)，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影，就是一個最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個正弦函數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么？

這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。

六、指數(shù)形式的傅里葉變換

有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什么呢？

光波

高中時我們就學(xué)過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義。

但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。

這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實(shí)軸的投影。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

將以上兩式相加再除2，得到：

這個式子可以怎么理解呢？

我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，那么 e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了！

舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。

這里，逆時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率，而順時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。

好了，剛才我們已經(jīng)看到了大?！B續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會是什么樣子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，這個圖形在時域是什么樣子？

哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西。

順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。

如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。

好了，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數(shù)都有了一個形象的理解了，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：

好了，傅里葉的故事終于講完了，下面來講講我的故事：

這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上。當(dāng)時為了刷分，我重修了高數(shù)（上），但是后來時間緊壓根沒復(fù)習(xí)，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以干脆寫一些自己對于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。

你們猜我的了多少分？

6 分

沒錯，就是這個數(shù)字。而這 6 分的成績是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無聊，把選擇題全部填上了C，應(yīng)該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應(yīng)該不太可能了。

那么你們猜猜我第一次信號與系統(tǒng)考了多少分呢？

45 分

沒錯，剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒去考，決定重修。因?yàn)槟莻€學(xué)期在忙其他事情，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專業(yè)。

在重修的過程中，我仔細(xì)分析了每一個公式，試圖給這個公式以一個直觀的理解。雖然我知道對于研究數(shù)學(xué)的人來說，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對于一個工科生來說，足夠了。

后來來了德國，這邊學(xué)校要求我重修信號與系統(tǒng)時，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法，再來一遍吧。

這次，我考了滿分，而及格率只有一半。

老實(shí)說，數(shù)學(xué)工具對于工科生和對于理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個問題，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話：學(xué)這貨到底干嘛用的？

缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗。

在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時候，學(xué)生完全不知道這個工具的作用，現(xiàn)實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來就怪了！

好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門課程的意義，然后指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎(chǔ)講起，梳理知識樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起！

這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。

最后，寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇诘牧粞砸鸫渭虞d，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅持看完了，只是沒辦法一一回復(fù)。

本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法，對于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。

最后，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣…