怎么理解坐標(biāo)曲面積分 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

對(duì)面積的曲面積分算的是面的質(zhì)量，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分算的是啥，坐標(biāo)面的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有什么幾何意義嗎？怎么理解曲面積分中的上側(cè)下側(cè),內(nèi)側(cè)外側(cè),左側(cè)右側(cè),前側(cè)后側(cè)？

本文導(dǎo)航

• 對(duì)面積的曲面積分算的是面的質(zhì)量，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分算的是啥？
• 坐標(biāo)面的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
• 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
• 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？
• 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有什么幾何意義嗎?
• 怎么理解曲面積分中的上側(cè)下側(cè),內(nèi)側(cè)外側(cè),左側(cè)右側(cè),前側(cè)后側(cè)?

對(duì)面積的曲面積分算的是面的質(zhì)量，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分算的是啥？

## 第二類曲面積分

第二類曲面積分算的是一個(gè)通量，可以理解為通過(guò)一個(gè)曲面的量，舉個(gè)流體力學(xué)的例子：

水以速度向量v=(P,Q,R)嘩嘩嘩的流，現(xiàn)在有一張曲面Σ，計(jì)算單位時(shí)刻流過(guò)這張曲面的流量可以用Pdydz+Qdzdx+Rdxdy來(lái)計(jì)算

在電磁學(xué)中則可以表示電通量，磁通量等。

坐標(biāo)面的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

首先要告訴你一個(gè)題目外的：曲線積分與定積分,曲面積分與二重積分的區(qū)別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式,意思是在曲線上或曲面上進(jìn)行積分的,而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標(biāo)上進(jìn)行積分,所以要將第一類曲線積分,第一類曲面積分通過(guò)給定的方程形式變換成在xyz坐標(biāo)進(jìn)行積分,另外既然給定了曲線或曲面方程,就可以根據(jù)方程把一個(gè)量表示成其他的兩個(gè)量的關(guān)系,因?yàn)槭窃诮o定的曲線或曲面方程上進(jìn)行積分的,所以要滿足給定的曲線或曲面的方程,所以各個(gè)量之間可以代換的,這個(gè)普通的定積分和二重積分不能這么做的……

第一類曲線積分：對(duì)線段的曲線積分,有積分順序,下限永遠(yuǎn)小于上限……求解時(shí)米有第二類曲線積分簡(jiǎn)單,需要運(yùn)用公式將線段微元ds通過(guò)給定的曲線方程形式表示成x與y的形式,進(jìn)行積分,這個(gè)公式書里面有的,就是對(duì)參數(shù)求導(dǎo),然后再表示成平分和的根式……

第二類曲線積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,沒(méi)有積分順序,意思是積分上下限可以顛倒了……

第一類曲線積分和第二類曲線積分的關(guān)系：可以用余弦進(jìn)行代換,余弦值指的是線段的切向量,這個(gè)書本里面的,我就不寫了

第一類曲面積分：對(duì)面積的曲面積分,求解時(shí)要通過(guò)給定的曲面方程形式,轉(zhuǎn)化成x與y的形式,這個(gè)公式書里面也有的,就是求偏導(dǎo)吧?然后表示成平方和根式的形式

第二類曲面積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,這個(gè)簡(jiǎn)單一些,好好看看就可以了

兩類曲面積分的聯(lián)系：可以用余弦代換,但是這個(gè)余弦是曲面的法向量

下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯(lián)系,方便你記憶：都是要轉(zhuǎn)化成在xyz坐標(biāo)面上的積分,都是平方和的根式形式,但是第一類曲線積分是對(duì)參數(shù)求導(dǎo),第一類曲面積分是求偏導(dǎo),為何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直線代替曲線,相當(dāng)于正方體求對(duì)角線,你想想是不是,肯定要出現(xiàn)平方和的根式,你好好看看推導(dǎo)過(guò)程……

第二類曲線積分與第二類曲面積分的關(guān)系：

第二類曲線積分如果封閉的話,可以用格林公式或斯托克斯公式化簡(jiǎn)

第二類曲面積分如果封閉的話,可以用高斯公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

對(duì)坐標(biāo)曲面積分的外側(cè)：閉合曲面為曲面外部的部位為曲面外側(cè)，開放曲面為曲面上部為外側(cè)。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，就是第二類曲線坐標(biāo)積分，它對(duì)投影有要求的，要分內(nèi)側(cè)于外側(cè)，主要判斷方式就是對(duì)某兩個(gè)變量進(jìn)行積分，其實(shí)就是在這兩個(gè)變量所確定的平面上投影，若規(guī)定了是內(nèi)側(cè)還是外側(cè)，則以該規(guī)定的側(cè)面的外法線和兩變量確定的平面向垂直的坐標(biāo)軸夾角，為鈍角則轉(zhuǎn)該面投影為負(fù)，為銳角則轉(zhuǎn)換為該面投影為正。設(shè)Σ為光滑曲面，函數(shù)f(x,y,z)在Σ上有定義，把Σ任意地分成n個(gè)小曲面Si,其面積設(shè)為ΔSi，在每個(gè)小曲面Si上任取一點(diǎn)(Xi,Yi,Zi) 作乘積f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，記λ=max(ΔSi的直徑) ， 若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi當(dāng)λ→0時(shí)的極限存在，且極限值與Σ的分法及取點(diǎn)（Xi,Yi,Zi）無(wú)關(guān)，則稱極限值為f（x,y,z）在Σ上對(duì)面積的曲面積分，也叫做第一類曲面積分。即為∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，Σ叫做積分曲面，dS叫做面積微元。

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？

第一型曲面積分物理意義來(lái)源于對(duì)給定密度函數(shù)的空間曲面，計(jì)算該曲面的質(zhì)量。第二型曲面積分物理意義來(lái)源對(duì)于給定的空間曲面和流體的流速，計(jì)算單位時(shí)間流經(jīng)曲面的總流量。

設(shè)s為空間中的曲面，f(x,y,z)為定義在s上的函數(shù)．對(duì)曲面s作分割T，它把S分成n個(gè)可求面積的小曲面片S^i(i=1,...,n)，S^i的面積記為si，分割T的細(xì)度為

，在S^i上任取一點(diǎn)

, 若存在極限

且它的值與分割及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱此極限J為f(x,y,z)在S上的第一型曲面積分，記為

或者簡(jiǎn)寫成

擴(kuò)展資料：

第二型曲面積分的計(jì)算

設(shè)空間曲面S的方程為z=z(x,y)，

，其中

為曲面S在

平面上的投影域，函數(shù)

在曲面S上連續(xù)，如果

在

上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有

物理意義

表示以

為空間流體的流速場(chǎng)，單位時(shí)間流經(jīng)曲面

的總流量。

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有什么幾何意義嗎?

對(duì)曲面二重積分是以曲面為頂,曲面在坐標(biāo)面的投影為底的曲頂柱體,而三重就要具體問(wèn)題具體分析,如果積的是體積元素,那得到的是該曲面在某個(gè)立體區(qū)域.

怎么理解曲面積分中的上側(cè)下側(cè),內(nèi)側(cè)外側(cè),左側(cè)右側(cè),前側(cè)后側(cè)?

理解曲面積分中的上側(cè)下側(cè)，內(nèi)側(cè)外側(cè)，左側(cè)右側(cè)，前側(cè)后側(cè)：坐標(biāo)軸的正方向就是它的右側(cè)，前側(cè)和上側(cè)，坐標(biāo)軸反方向就是它的左側(cè)，后側(cè)和下側(cè)，法向量指向哪一側(cè)就說(shuō)取這個(gè)曲面的這一側(cè)，比如說(shuō)法向量指向曲面上側(cè)就說(shuō)取這個(gè)曲面的上側(cè)。

想象有一個(gè)碗放在桌子上，開口向上，并建立直角坐標(biāo)系；桌子平面為z=0，平面；碗里面的面為上側(cè)曲面；向桌面投影后面積為正值，投影面就是一個(gè)圓；碗外面的面為下側(cè)曲面；向桌面投影后面積為負(fù)值。

引例

先看一個(gè)例子：設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質(zhì)量；對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。