什么是等價向量組 向量組與另一個向量組等價

什么叫等價向量組？等價向量組的基本定義，線性代數(shù)給出過程，等價向量組和等秩向量組是什么意思？等價向量組和等價矩陣之間的聯(lián)系和區(qū)別是，如何判斷向量組等價？線性代數(shù)中兩個向量組等價是什么意思？

本文導(dǎo)航

• 向量組與另一個向量組等價
• 兩個向量組等價的充分必要條件
• 線性代數(shù)和向量代數(shù)有什么區(qū)別
• 矩陣與向量組之間關(guān)系
• 向量組等價的充分必要條件
• 線性代數(shù)如何判斷向量組是否等價

向量組與另一個向量組等價

方向相同，大小相等的一組向量叫向量組。

方向相同，大小相等的一組向量叫等價向量組。

兩個向量組等價的充分必要條件

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…Bn的等價秩相等條件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。（注意區(qū)分粗體字與普通字母所表示的不同意義）或者說：兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。注：1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。2、任一向量組和它的極大無關(guān)組等價。3、向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價。4、兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同。5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。6、如果向量組A可由向量組B線性表出，且R（A）=R（B），則A與B等價。

線性代數(shù)和向量代數(shù)有什么區(qū)別

等價向量組，是向量組A中向量，都可以被向量組B中向量的線性表示

反過來，也是成立的。

等秩向量組，僅僅是兩個向量組的秩相等，不一定能被對方線性表示

矩陣與向量組之間關(guān)系

一、等價向量組和等價矩陣聯(lián)系：

等價向量組能夠推出矩陣等價， 但是等價矩陣不能推出等價向量組。

二、等價向量組和等價矩陣區(qū)別

1、等價矩陣是一個矩陣可以經(jīng)過有限次初等變換得到另一矩陣。

有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=Q-1AP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關(guān)系。

也就是說，存在可逆矩陣，A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。

2、等價向量組是兩個向量組能夠相互線性表示。

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。

或者說：兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。

擴展資料：

等價向量組需要注意的是：

1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。

2、任一向量組和它的極大無關(guān)組等價。

3、向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價。

4、兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同。

5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。

6、如果向量組A可由向量組B線性表示，且R（A）=R（B），則A與B等價。

參考資料：百度百科－等價向量組

百度百科－等價矩陣

向量組等價的充分必要條件

通過基本判定精細判斷：

向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調(diào)的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。

設(shè)有兩個向量組

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每個向量都可以由向量組（Ⅱ）線性表示，則稱（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示；如果（Ⅰ）與（Ⅱ）可以相互線性表示，則稱（Ⅰ）與（Ⅱ）等價，記為（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，則向量組（Ⅰ）={α1，α2}與向量組（Ⅱ）={β1，β2，β3}等價。事實上，給定的條件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）線性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，這表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）線性表示，由定義即知（Ⅰ）與（Ⅱ）等價。

線性代數(shù)如何判斷向量組是否等價

兩個向量組可以互相線性表出，即是第一個向量組中的每個向量都能表示成第二個向量組的向量的線性組合，且第二個向量組中的每個向量都能表示成第一二個向量組的向量的線性組合。

向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調(diào)的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。

向量組等價和矩陣等價是兩個不同的概念。前者是從能夠互相線性表出的角度給出定義；后者是從初等變換的角度給出定義。向量組（必須包含向量個數(shù)相同）等價能夠推出矩陣等價。但是矩陣等價不一定能推出向量組等價。

向量組等價，是兩向量組中的各向量，都可以用另一個向量組中的向量線性表示。

矩陣等價，是存在可逆變換（行變換或列變換，對應(yīng)于1個可逆矩陣），使得一個矩陣之間可以相互轉(zhuǎn)化。

如果是行變換，相當于兩矩陣的列向量組是等價的。

如果是列變換，相當于兩矩陣的行向量組是等價的。

由于矩陣的行秩，與列秩相等，就是矩陣的秩，在行列數(shù)都相等的情況下，兩矩陣等價實際上就是秩相等，反過來，在這種行列數(shù)都相等情況下，秩相等，就說明兩矩陣等價。