什么是向量代數(shù) 向量的所有運(yùn)算

向量是什么？高數(shù)，向量代數(shù)，高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)，向量代數(shù)是什么？向量的運(yùn)算的所有公式是什么？sin在向量代數(shù)中表示什么意思？

本文導(dǎo)航

• 向量有什么意義
• 線性代數(shù)向量公式
• 高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的關(guān)系
• 高等代數(shù)的向量定義
• 向量的所有運(yùn)算
• 空間向量cos與sin關(guān)系

向量有什么意義

數(shù)學(xué)中，既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量叫做向量。有方向與大小，分為自由向量與固定向量。

數(shù)學(xué)中，把只有大小但沒有方向的量叫做數(shù)量，物理中常稱為標(biāo)量。例如距離、質(zhì)量、密度、溫度等。

注：在線性代數(shù)中（實(shí)數(shù)空間/復(fù)數(shù)空間）的向量是指n個(gè)實(shí)數(shù)/復(fù)數(shù)組成的有序數(shù)組，稱為n維向量。α=（a1，a2，…，an） 稱為n維向量。其中ai稱為向量α的第i個(gè)分量。

（"a1"的"1"為a的下標(biāo)，"ai"的"i"為a的下標(biāo)，其他類推）

在編程語(yǔ)言中，也存在向量。

來源

向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng) 向量度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓．

從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系．

向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起．18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a+bi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算．把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)．

但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系．19世紀(jì)中期，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國(guó)的數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析．

三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國(guó)的居伯斯和海維塞德于19世紀(jì)80年代各自獨(dú)立完成的．他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)．他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積．并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具。

線性代數(shù)向量公式

如圖

高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的關(guān)系

主要應(yīng)用到了叉乘滿足分配律，平行叉乘為零，垂直點(diǎn)乘為零，以下為此題詳解，望采納

高等代數(shù)的向量定義

一個(gè)是X乘,一個(gè)是點(diǎn)乘 區(qū)別是X乘的結(jié)果是向量的的模和向量夾角正炫的乘積 點(diǎn)乘是向量的的模和向量夾角余弦的乘積 上式需滿足 a 和b向量夾角與與a和c夾角之和為90度 即向量a,b,c共面且能平移到一個(gè)直角三角形中.滿足以下等式

c+b=a b*c =0

向量的所有運(yùn)算

向量的運(yùn)算的所有公式是：

1、加法：已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、減法：AB-AC=CB，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡(jiǎn)記為：共起點(diǎn)、連中點(diǎn)、指被減。

3、數(shù)乘：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa。當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa=0。

向量代數(shù)規(guī)則：

1、反交換律：a×b=-b×a。

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、與標(biāo)量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不滿足結(jié)合律，但滿足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

空間向量cos與sin關(guān)系

正弦函數(shù)。
最初級(jí)的情況是sinA表示直角△ABC中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比，就是sinA=BC/AB。
因?yàn)椴煌匿J角這比值就不同，所以就構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。
例如sin30度=1/2。正弦（sin）：角α的對(duì)邊比上斜邊、余弦（cos）：角α的鄰邊比上斜邊、正切（tan）：角α的對(duì)邊比上鄰邊、余切（cot）：角α的鄰邊比上對(duì)邊、正割（sec）：角α的斜邊比上鄰邊、余割（csc）：角α的斜邊比上對(duì)邊。