極限的唯一性是什么 證明函數(shù)極限存在的充分條件

函數(shù)極限唯一性理解有問題，極限有唯一性質(zhì)嗎？什么意思呢？關(guān)于函數(shù)極限唯一性，極限的唯一性是什么意思？極限唯一性的證明是什么？怎么理解函數(shù)極限唯一性？每一個點不是都可以有一個極限嗎？函數(shù)正無窮和負(fù)無窮可以有兩個極限?。?/p>

本文導(dǎo)航

• 證明函數(shù)極限存在的充分條件
• 極限是怎樣的概念
• 函數(shù)極限左右存在的條件
• 極限的定義深度解析
• 怎么證明極限存在
• 如何用定義證明函數(shù)的極限

證明函數(shù)極限存在的充分條件

極限的唯一性指的是：在某一個點處只能有一個極限。另一個點當(dāng)然可以存在極限，它的極限也是唯一的，很多點都可能有極限，但是這個點只要一確定，極限也是確定的，不可能出現(xiàn)同一個點處兩個極限。

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極限是怎樣的概念

1、極限存在時，就唯一；

2、極限不存在時，就不唯一：

A、如果左右極限不相等，就有兩個極限；

B、如果是多元函數(shù)，就有無數(shù)個極限；

C、極限為無窮大時，其實是不存在的，但是我們又自欺欺人地說極限等于無窮大。

這是我們矛盾的地方，一方面說極限為無窮大，極限不存在；另一方面，既然

不存在，又寫成極限等于無窮大。大家默認(rèn)了這個矛盾說法，也就見怪不怪了。

3、極限是趨勢，是 tendency，是 trend，跟定義可能毫無關(guān)系，經(jīng)常是沒有定義。

例如，sinx/x，x不可以等于0，但是sinx/x在x趨向于0時的極限是存在的，是1。

所以，“那有沒有極限在領(lǐng)域中處處有定義這句話呀？” 沒有這樣的說法。

函數(shù)極限左右存在的條件

唯一，如果不唯一就不能稱之為極限。一般來說，只有某一特定的點會出現(xiàn)左右極限不一致的情況，那樣極限就不存在，也可以理解為極限不唯一。所謂不唯一，不是說有兩個，而是說連一個都沒有。唯一性是性質(zhì)，就是說只要極限存在，就是唯一的，不可以能有多個的，如果有左右極限，不一致，那也不是有兩個極限，而是沒有極限。而趨于正無窮，要不就是沒極限（也就是極限趨于無窮），要不就是只有一個極限，也一樣不可能有兩個及兩個以上的極限.

極限的定義深度解析

簡單分析一下即可，答案如圖所示

怎么證明極限存在

證明：

假設(shè)存在a，b兩個數(shù)都是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。的極限，且a<b，任意給定ε>0。

總存在一個δ1>0，當(dāng)0<丨x-x。丨<δ1時，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε<f（x）<a+ε和b-ε<f（x）<b+ε。

b-ε≤a+ε，移項得：（b-a）/2≤ε，因為（b-a）/2是一個確定大小的正數(shù)，所以這個結(jié)論與極限的定義：ε可以任意小矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a，b兩個數(shù)都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會出現(xiàn)。

N的相應(yīng)性　

一般來說，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強調(diào)N對ε的變化而變化的依賴性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

如何用定義證明函數(shù)的極限

函數(shù)極限唯一指的是函數(shù)在某個特定點的極限只有一個。

然后就像你說的每個點都可能存在一個極限，但是每個點就算有極限也只能有一個極限。

函數(shù)正無窮和負(fù)無窮是兩個極限，正無窮的極限是唯一的，負(fù)無窮的極限也是唯一的，這就是函數(shù)極限的唯一性。

搞好數(shù)學(xué)的方法：

1、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科一樣，也是有很多概念性的東西，學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是明白定義到底說的是什么。

比如數(shù)學(xué)中的平方，立方，絕對值的含義。我們知道平方就是兩個相同的數(shù)相乘，當(dāng)然立方就是三個相同的數(shù)相乘，絕對值就是大于或者等于0的數(shù)值，明白了定義的真正含義，也就走出了第一步，為后面的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

2、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科不同之處就是不需要死記硬背，因為數(shù)學(xué)不考試問答題，而是計算這是最大的不同。怎么實踐呢，具體的說一下。

數(shù)學(xué)的許多題都是從定義出發(fā)的，前面我說過，定義明白了，也就好下手了。比如合并同類項，先想定義，就是同類的項，簡單點就是都有的那個東西，明白了定義，然后下手做題，當(dāng)然就事半功倍了。

3、前面我說過。數(shù)學(xué)不是背出來的，是用筆桿子算出來的。所以針對一個公式或者一個定義，只有把關(guān)于這個問題的題目多做上幾道，自然的就運用和真正理解了其中的意義。

因此對于數(shù)學(xué)，一定不要偷懶，只看不算，只有多動腦，多動手，這樣才會更加靈活的學(xué)好數(shù)學(xué)。