高數(shù)九大定理有哪些 高數(shù)計算題詳細講解

高分求：誰能為我整理一下高數(shù)的基本定律，大學(xué)高數(shù)都包括哪些內(nèi)容，你覺得高數(shù)中最有意思的定理是什么？高數(shù)第六版上冊有哪些重要定理的證明?？迹邤?shù)主要知識點。

本文導(dǎo)航

• 高數(shù)四大定理
• 大學(xué)高數(shù)課程都學(xué)習(xí)啥
• 高數(shù)需要掌握的定理證明
• 高數(shù)計算題詳細講解
• 高數(shù)上知識點歸納

高數(shù)四大定理

2009年考研數(shù)學(xué)高數(shù)定理定義總結(jié)

第一章 函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關(guān)。

定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點那么x0的某一去心鄰域，當x在該鄰域內(nèi)時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。挥邢迋€無窮小的乘積也是無窮?。欢ɡ砣绻鸉1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ<b）。

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。

2、函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導(dǎo)。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。

3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導(dǎo)。

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b），使的函數(shù)f（x）在該點的導(dǎo)數(shù)等于零：f’（ξ）= 0.

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）= f’（ξ）（b-a）成立即f’（ξ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）。

3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必達法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導(dǎo)數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。

定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當f’’(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側(cè)的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側(cè)的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點，這些點也要作為分點。

第四章 不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u.

2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章 定積分

1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。

定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。

3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a<c<b）外連續(xù)，而在點c的鄰域內(nèi)無界，如果兩個廣義積分∫acf（x）dx與∫cbf（x）dx都收斂，則定義∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否則（只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分∫abf（x）dx發(fā)散。

第六章 定積分的應(yīng)用

求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

極坐標系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)

功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)。

性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC-B2=0時可能有也可能沒有。

7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。

(2)對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，那么對這些點也應(yīng)當考慮在內(nèi)。

第八章 二重積分

1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(x，y)處的密度。

平面薄片對質(zhì)點的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M，m分別是f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重積分中標量在直角與極坐標系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數(shù)中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxd

大學(xué)高數(shù)課程都學(xué)習(xí)啥

高數(shù)即高等數(shù)學(xué)

主要是微積分，微分方程，級數(shù)

高數(shù)需要掌握的定理證明

Fourier級數(shù)，還有他推出的Poisson求和公式，兩者都可以很漂亮的算出一些級數(shù)求和。而Fourier變換不僅本身有很多好性質(zhì)，而且還可以換個樣子用在群表示還有概率論上面。

高數(shù)計算題詳細講解

微分中值定理(羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西定理)，介值定理，零點定理，積分中值定理

高數(shù)上知識點歸納

1. 夾逼定理的用法

假逼定理是在微積分中最常用到的一種計算方法，它分為函數(shù)極限的夾逼定理和數(shù)列極限的夾逼定理，如果要正確使用該定理，最重要的是理解夾逼定理是用來計算極限的方法，而不是用來判斷是否存在極限的方法。如果再通過使用這一方法，能夠計算出函數(shù)的極限，那么則意味著該的數(shù)列的極限存在，但是不能進行反反推，如果極限已經(jīng)存在，則一定可以用夾逼定理，這句話就是錯誤的。

2. 單調(diào)有界收斂定理

單調(diào)有界收斂定理也是高等數(shù)學(xué)中一個主要的，用來計算數(shù)列極限問題的方法。一般情況下，該定理的使用范圍是固定的，只有在特定的題目中才能夠運用單調(diào)有界收斂定理。通過這一方法，可以證明兩點重要結(jié)論，首先證明數(shù)列是有界的，第二個是證明數(shù)列的單調(diào)性。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了以上兩個定理之外，還有其他將近20個重要的定理學(xué)生，需要明白定理的推理過程，以及使用對象只有對定理進行合理理解，才能夠保證高等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過程中的做題效率。