多元函數(shù)怎么判斷極值 多元函數(shù)求極值的主要方法

多元函數(shù)求極值（無條件極值，求多元函數(shù)極值，多元函數(shù)求極值的主要方法，高數(shù)多元函數(shù)條件極值。

本文導(dǎo)航

• 多元函數(shù)在不等式條件下求極值
• 多元函數(shù)求極值所解決的實際問題
• 多元函數(shù)求極值的主要方法
• 多元函數(shù)極值存在充分條件

多元函數(shù)在不等式條件下求極值

這是海塞矩陣適定性導(dǎo)致的，一元函數(shù)二階展開，類似一個二次函數(shù)，只需要判斷系數(shù)正負即二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值正負值就可以判斷極值性，而二元函數(shù)二階展開后，其實類似有一個二次型的，二次型的（正負）適定性就要用順序主子式也就是那個ac-b平方之類的去判定了

多元函數(shù)求極值所解決的實際問題

看不清…………

多元函數(shù)求極值的主要方法

求多元函數(shù)極值地兩種特殊方法摘要:在生產(chǎn)和日常生活中我們總是希望減少消耗.增加利用率,得到最佳效果,而這些實際問題都可以歸結(jié)為函數(shù)極值問題.函數(shù)極值不僅是數(shù)學(xué)分析中地一個重要問題,也是我們中地一個難題.函數(shù)極值地應(yīng)用也普遍存在.在這里,介紹用方向?qū)?shù)和實對稱矩陣來求多元函數(shù)極值這兩種方法.關(guān)鍵詞:多元函數(shù);方向?qū)?shù);實對稱矩陣;極值1.利用方向?qū)?shù)求二元函數(shù)地極值定義1設(shè)函數(shù)在點地某領(lǐng)域內(nèi)有定義,,令,若存在,稱此極限為函數(shù)在點沿方向地方向?qū)?shù),記作.引理設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域上可微,是內(nèi)地光滑曲線,當點在上移動時,函數(shù)沿地前進方向地方向?qū)?shù)滿足:(1),則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2),則函數(shù)在上單調(diào)減少;(3),則函數(shù)在上為常數(shù).證明設(shè)曲線地方程為且沒有垂直于軸地切線,在上任意兩點,,(移動時先經(jīng)過點),對于定義在上地一元函數(shù)應(yīng)用微分中值定理,(在與之間),及,(為地切線與軸地夾角).于是當時,,;當時,,;故與同號,如果當時,,從而.所以在上沿前進方向是單調(diào)增加地.同理可證,成立.定理1設(shè)函數(shù)在點地某領(lǐng)域內(nèi)可微,且,如果函數(shù)在該領(lǐng)域任一點處,沿直線方向地方向?qū)?shù)滿足:(1),則為地極大值;(2),則為地極小值.證明設(shè)為領(lǐng)域內(nèi)任意一點,為領(lǐng)域內(nèi)過點和地直線段,由假設(shè)知,函數(shù)在點處沿地方向?qū)?shù),且在上點與之間地任何點處,該方向地方向?qū)?shù)均為負.由引理知,在上單調(diào)減少,即.由地任意性,是極大值.情形同理可證.例1討論二元函數(shù)地極值.解先求兩個一階偏導(dǎo)數(shù),令它們?yōu)?解方程組得穩(wěn)定點,再利用定理地推論確定極值.,求得穩(wěn)定點為.因為,由定理知在點處取得極小值..2.利用實對稱矩陣求多元函數(shù)地極值上面用方向?qū)?shù)方法對多元函數(shù)求其極值,下面介紹用實對稱矩陣求多元函數(shù)極值.定義2設(shè)函數(shù)在點有連續(xù)地二階偏導(dǎo)數(shù),稱矩陣為函數(shù)在點地黑塞矩陣.定理2設(shè)元函數(shù)在點地某個領(lǐng)域有連續(xù)地二階偏導(dǎo)數(shù),且為其穩(wěn)定點,則(i)若是正定矩陣時,則為地極小值點;(ii)若是負定矩陣時,則為地極大值點;(iii)若是不定矩陣時,則在處不取極值.證明設(shè)元函數(shù)在某區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且區(qū)域內(nèi)一點是地穩(wěn)定點(駐點),即是地一組解(極值存在地必要條件),那么如何判斷是否是極值呢?如果是極值,是極大值還是極小值呢?這里介紹一種方法,是數(shù)學(xué)分析下冊所學(xué)地用黑塞矩陣判定,即根據(jù)一個實對稱矩陣地正定和負定來進行判斷.在點處給自變量微小增量,相應(yīng)地,函數(shù)有增量.按定義,當時,為極大值;反之,當時,為極小值.因此問題歸結(jié)為如何判斷地正負問題.根據(jù)泰勒()公式有由于滿足方程組,所以上式右端第一項為零,而其余各項當時,每一項都是它前面地高階無窮小,因此當很小時,和等式右端第二項有相同地符號.所以要判斷地正負,只要判斷地正負就可以了.是關(guān)于變量地二次齊次多項式,其系數(shù)為實數(shù),所以此式也是關(guān)于變量地一個實二次型.由于,所以其中為實對稱矩陣,其元素且不全為零,即.若A為正定矩陣,則,,為極小值;若為負定矩陣,則,,為極大值.若既不正定,又不負定,則不是極值.應(yīng)當注意地是,若二次齊次多項式為零,則,此時不能用地正定或負定來判斷是否為極值或判斷是極大值或極小值,需根據(jù)二次齊次多項式后邊地高次項去判斷.用實對稱矩陣求多元函數(shù)極值地步驟1.先求多元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù),求取穩(wěn)定點;2.然后將穩(wěn)定點代入多元函數(shù)對應(yīng)地矩陣中;3.判斷該矩陣

多元函數(shù)極值存在充分條件

題目解析很清楚，

拉格朗日乘數(shù)法

，就是添加一個變量

λ，構(gòu)造一個新的函數(shù)，對所有變量包括

λ

求

偏導(dǎo)數(shù)

，所有偏導(dǎo)數(shù)等于0的點就是穩(wěn)定點，函數(shù)要取得極值，必須在穩(wěn)定點上取得，如果有多個穩(wěn)定點，對所有穩(wěn)定點的值進行比較，才能求得最值，

構(gòu)造的函數(shù)

F（x,

y,

z,

λ）,

括號中明白無誤是

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個變量，而不是三個變量，