什么是極大線性無關組 怎樣判斷向量組線性無關

什么是極大線性無關組？如何理解極大線性無關組？高等代數(shù)，什么是極大線性無關組？極大線線性無關組，什么是極大無關組？怎么判別？向量組中極大線性無關組如何找？是如何定義的？

本文導航

• 極大線性無關組不唯一有幾種情況
• 極大線性無關組個數(shù)怎么判斷
• 線性代數(shù)和高等代數(shù)有什么區(qū)別
• 怎么理解極大無關組和線性無關
• 怎么判定是不是極大線性無關組
• 怎樣判斷向量組線性無關

極大線性無關組不唯一有幾種情況

基本定義

定義

設S是一個n維向量組,α1,α2,...αr 是S中的部分向量或整個向量組.如果 　　

(1) α1,α2,...αr 線性無關; 　　

(2)S中的每一個向量都可以由α1,α2,...αr 線性表示, 　　那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關組,或極大無關組。

注解

　?。?）只含零向量的向量組沒有極大無關組。 　　

（2）一個線性無關向量組的極大無關組就是其本身。 　　

（3）極大線性無關組對于每個向量組來說并不唯一。但是每個極大線性無關組的向量組的個數(shù)都相同。

性質(zhì)定理

基本性質(zhì)

性質(zhì)1：任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。 　　

性質(zhì)2:向量組的任意兩個極大無關組都是等價的。

相關定理

　　一個向量組的任意兩個極大無關組等價，且所含向量的個數(shù)相同。 　　向量組A={a1,a2,…,an}，向量組B={b1,b2,…,br}是A的部分向量組，即B是A的子集，如果向量組B線性無關，且向量組A中每一個向量都可以由向量組B中的向量線性表示，則向量組B稱為是向量組A的一個極大線性無關組。 　　一個向量組的極大線性無關組并不一定是唯一的，但一個向量組的任何一個極大線性無關組中所含的向量個數(shù)是確定的，這個數(shù)稱為向量組的秩。

極大線性無關組個數(shù)怎么判斷

極大無關組 就象班里的班長副班長 他們能代表全班 但又缺一不可

極大無關組本身線性無關 ( 無多余向量 缺一不可)

它又能表示向量組中任一向量 (是班里選的代表)

把向量按列構(gòu)成一矩陣

用初等行變換化成行階梯

非零行的首非零元所在的列對應的向量即構(gòu)成一個極大無關組

如向量組 a1,a2,a3,a4

構(gòu)成矩陣 (a1,a2,a3,a4)

化成

1 2 3 4

0 0 2 4

0 0 0 5

則極大無關組就是 a1,a3,a4

線性代數(shù)和高等代數(shù)有什么區(qū)別

定義

設S是一個n維向量組,α1,α2,...αr 是S的一個部分組,如果

(1) α1,α2,...αr 線性無關；

(2) 向量組S中每一個向量均可由此部分組線性表示,

那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關組,或極大無關組.

怎么理解極大無關組和線性無關

在變換到階梯矩陣之后，每一行第一個非零元素所在列對應的向量組合起來就是極大線性無關組。極大線性無關組一般都不是只有1個，只要向量組自身不是極大線性無關組，那么就一定有2個或以上的極大線性無關組，但是一般習慣于用數(shù)字小的向量，比如會選擇X1、X2、X3，而不會選擇X1、X2、X4。在找到一個極大線性無關組之后，組外的向量可以用這個極大線性無關組來表示，那么同樣，這個極大線性無關組里的一個向量也可以用極大線性無關組里的其他向量和一個組外的向量來表示，這樣就找到了另一個極大線性無關組。以我之前回答的一個極大線性無關組的問題為例。 1 -1 2 -2 1 1 -1 2 -2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 -1 3 -2 1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 3 -2 5 -1 3 0 1 -1 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1 4 -2 6 -1 3 0 2 -2 7 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 所以極大線性無關組是X1、X2、X4，X3=X1-X2，X5=-5/3X2+1/3X4。從最后的階梯矩陣看，第二行可以不選第一個數(shù)1對應的向量，可以選-1對應的向量，那么極大線性無關組就是X1、X3、X4，X2=X1-X3，X5=5/3X1-5/3X3+1/3X4。也可以第三行不選3對應的向量，選1對應的向量，那么極大線性無關組就是X1、X2、X5，X2=X1-X3，X4=5X2+3X5?？傊?，階梯矩陣階梯上的數(shù)對應的向量都可以選，注意一定是階梯上，這些數(shù)一定下面是0或者已經(jīng)是矩陣最下面一行。每級階梯上選出一個數(shù)，它們對應的向量就可以組成一個極大線性無關組。

怎么判定是不是極大線性無關組

向量組的極大無關組滿足2個條件：

1、自身線性無關。

2、向量組中所有向量可由它線性表示。

例題的解法：

構(gòu)造矩陣 (a1，a2，a3，a4)，對它用行變換化成梯矩陣。

非零行的首非零元所在的列對應的向量就是一個極大無關組。

5 4 1 3

2 1 1 4

-3 -2 -1 -1

1 3 -2 2

化成了行簡化梯矩陣：

1 0 1 0

0 1 -1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

所以極大無關組是: a1，a2，a4

且 a3 = a1-a2+0a4

擴展資料：

極大無關組的概念可以推廣到含無限個向量的情形。因此，線性空間V的任一個基可看成V的極大無關組。特別的，齊次線性方程組的基礎解系是其解空間的極大無關組。

設V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關，但在這部分向量中，加上S的任一向量后都線性相關，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關組。V中子集的極大線性無關組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關組。

任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。

參考資料來源：百度百科——極大線性無關組

參考資料來源：百度百科——極大無關組

怎樣判斷向量組線性無關

首先把這個向量組化為行最簡形即階梯矩陣，找到每列非零元素即可，例如：

a1 ;a2 ;a3 ;a4

1 ; ;0 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;1 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 1

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 0

極大線性無關組即為：a1，a2，a4；a2，a3，a4；a1，a3，a4；a1，a2，a3不是極大無關組。

極大線性無關組是線性空間的基對向量集的推廣。設V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關，但在這部分向量中，加上S的任一向量后都線性相關，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關組。

V中子集的極大線性無關組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關組。它們所含的向量個數(shù)（基數(shù)）相同。V的子集S的極大線性無關組所含向量的個數(shù)（基數(shù)），稱為S的秩。

基本性質(zhì)：

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組；

（2）一個線性無關向量組的極大無關組就是其本身；

（3）極大線性無關組對于每個向量組來說并不唯一，但是每個向量組的極大線性無關組都含有相同個數(shù)的向量；

（4）齊次方程組的解向量的極大無關組為基礎解系。

（5）任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。

（6）一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。