怎么看輪換對(duì)稱積分 都說(shuō)利用輪換對(duì)稱性計(jì)算積分，可我怎么判斷他是否具有輪換對(duì)稱性，對(duì)輪換對(duì)稱性的判斷我很模糊

積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性的條件，關(guān)于積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性問(wèn)，二重積分：有一題說(shuō)被積函數(shù)[af(x)+bf(y)]/f(x)+f(y)是輪換對(duì)稱的，為什呢，怎么看？都說(shuō)利用輪換對(duì)稱性計(jì)算積分，可我怎么判斷他是否具有輪換對(duì)稱性，對(duì)輪換對(duì)稱性的判斷我很模糊？如何證明重積分輪換對(duì)稱性？請(qǐng)問(wèn)這道二重積分題，如何確定有輪換對(duì)稱性的？

本文導(dǎo)航

• 積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性的條件
• 關(guān)于積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性問(wèn)
• 二重積分：有一題說(shuō)被積函數(shù)[af(x)+bf(y)]/f(x)+f(y)是輪換對(duì)稱的，為什呢，怎么看
• 都說(shuō)利用輪換對(duì)稱性計(jì)算積分，可我怎么判斷他是否具有輪換對(duì)稱性，對(duì)輪換對(duì)稱性的判斷我很模糊
• 如何證明重積分輪換對(duì)稱性
• 請(qǐng)問(wèn)這道二重積分題，如何確定有輪換對(duì)稱性的？

積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性的條件

坐標(biāo)的輪換對(duì)稱性，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是將坐標(biāo)軸重新命名，如果積分區(qū)間的函數(shù)表達(dá)不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變。

(1) 對(duì)于曲面積分，積分曲面為u(x,y,z)=0，如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0， 也就是積分曲面的方程沒有變，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同樣可以進(jìn)行多種其它的變換。

(2) 對(duì)于第二類曲面積分只是將dxdy也同時(shí)變換即可。比如:如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在這個(gè)曲面上的積 分 ∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.

(3) 將1中積分曲面中的z去掉，就變成了曲線積分滿足的輪換對(duì)稱性:積分曲線為u(x,y)=0，如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)= 0，那么在這個(gè)曲線上的積分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；實(shí)際上如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=0，則意味著積分曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱 。第二類和（2）總結(jié)相同。

(4) 二重積分和三重積分都和(1)的解釋類似，也是看積分域函數(shù)將x,y,z更換順序后，相當(dāng)于將坐標(biāo)軸重新命名，積分取間沒有發(fā)生變化，則被積函數(shù)作相應(yīng)變換后，積分值不變。

注意兩點(diǎn)，一是被積函數(shù)關(guān)于某一變量的奇偶性，二是看一下積分區(qū)域，是否關(guān)于該變量坐標(biāo)軸兩邊對(duì)稱。

比如說(shuō)2維空間，如果被積函數(shù)是X的積函數(shù)，那么考察積分區(qū)域，是否關(guān)于Y對(duì)稱。如果想要考察X，Y坐標(biāo)是否可對(duì)換，那么就需要考察積分區(qū)域是否關(guān)于y=x對(duì)稱。

三維空間類似，如果被積函數(shù)是X的積函數(shù)，那么考察積分區(qū)域，看一下是否關(guān)于YZ平面對(duì)稱。所謂的輪換對(duì)稱，如果要滿足的話，就需要三者之間都可互換了。

但是要注意，這里有一個(gè)特殊情況，就是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，例如∫∫X^2dydz,如果x^2是關(guān)于YZ平面對(duì)稱，x^2是偶函數(shù)，則這個(gè)積分是零，原因是對(duì)于坐標(biāo)的曲面積分，前面和后面的積分符號(hào)剛好相反。

關(guān)于積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性問(wèn)

簡(jiǎn)單的說(shuō)就是 x y z 三個(gè)變量依次往后輪換，所給出的表達(dá)式不變，

比如給出積分區(qū)域f（x，y，z）=x+y+z 則 三個(gè)變量互換位置后仍然和原來(lái)的表達(dá)式相同，這就是輪換對(duì)稱。

二重積分：有一題說(shuō)被積函數(shù)[af(x)+bf(y)]/f(x)+f(y)是輪換對(duì)稱的，為什呢，怎么看

將表達(dá)中的x與y對(duì)換，如果還與原來(lái)相同就是輪換對(duì)稱的

積分區(qū)域D：0<=X<=1，0<=,Y<=1關(guān)于y=x對(duì)稱就可以用輪換對(duì)稱性了

都說(shuō)利用輪換對(duì)稱性計(jì)算積分，可我怎么判斷他是否具有輪換對(duì)稱性，對(duì)輪換對(duì)稱性的判斷我很模糊

利用輪換的定義，將變量x和y互換，得到的結(jié)果還是和原先的是一樣的就有輪換對(duì)成性。比如告訴你個(gè)關(guān)于x,y,z的函數(shù)，但你發(fā)現(xiàn)其中的x,y,z互相交換并不改變函數(shù)的值，如x+y+z=1.則x,y,z具有輪換對(duì)稱性，這樣解題的時(shí)候就可以利用，比如讓你求x，你就可以寫成1/3倍的（x+y+z)

如何證明重積分輪換對(duì)稱性

(1) 對(duì)于曲面積分，積分曲面為u(x,y,z)=0，如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0， 也就是積分曲面的方程沒有變，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同樣可以進(jìn)行多種其它的變換。

(2) 對(duì)于第二類曲面積分只是將dxdy也同時(shí)變換即可 ，比如：如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在這個(gè)曲面上的積 分 ∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。

(3) 將(1)中積分曲面中的z去掉，就變成了曲線積分滿足的輪換對(duì)稱性:積分曲線為u(x,y)=0，如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)= 0，那么在這個(gè)曲線上的積分 ∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；實(shí)際上如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=0，則意味著積分曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱 。第二類三維空間的曲線積分跟（2）總結(jié)相同同。但第二類平面上的曲線積分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一個(gè)負(fù)號(hào)）

(4) 二重積分和三重積分都和(1)的解釋類似，也是看積分域函數(shù)將x,y,z更換順序后，相當(dāng)于將坐標(biāo)軸重新命名，積分區(qū)間沒有發(fā)生變化，則被積函數(shù)作相應(yīng)變換后，積分值不變。

請(qǐng)問(wèn)這道二重積分題，如何確定有輪換對(duì)稱性的？

你舉的例子，積分區(qū)域不關(guān)于y＝x對(duì)稱，不具有輪換對(duì)稱性，除非補(bǔ)充定義，把下半部分算上去