什么是相似矩陣 相似的兩個(gè)矩陣有什么性質(zhì)

矩陣的等價(jià)和相似有什么區(qū)別？矩陣的等價(jià)和相似有什么區(qū)別？相似矩陣的性質(zhì)是什么？矩陣的相似是什么意思？矩陣相似的定義是什么？相似矩陣的性質(zhì)是什么？

本文導(dǎo)航

• 矩陣相似的條件都有哪些
• 如何理解矩陣中的等價(jià)
• 相似矩陣的充分必要條件
• 矩陣等價(jià)和相似有什么區(qū)別嗎
• 矩陣相似的幾何意義
• 相似的兩個(gè)矩陣有什么性質(zhì)

矩陣相似的條件都有哪些

1、性質(zhì)

矩陣等價(jià)：在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個(gè)m×n階矩陣A和B，如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說，存在可逆矩陣，A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。

矩陣相似：在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

2、特點(diǎn)

矩陣等價(jià)：當(dāng)A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時(shí)，A，B一定等價(jià)。

矩陣相似：相似矩陣具有相同的可逆性，當(dāng)它們可逆時(shí)，則它們的逆矩陣也相似。

擴(kuò)展資料：

矩陣相似的相關(guān)定理：

1、兩者的秩相等；

2、兩者的行列式值相等；

3、兩者的跡數(shù)相等；

4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同。

參考資料來源：百度百科-等價(jià)矩陣

參考資料來源：百度百科-相似矩陣

如何理解矩陣中的等價(jià)

矩陣等價(jià):對(duì)于矩陣A(m*n)來說,有可逆的矩陣P,Q使PAQ=B,那么B就與A等價(jià),實(shí)質(zhì)上就是A經(jīng)過有限次的初等變換得到B.

設(shè)A,B為n階矩陣,如果有n階非奇異矩陣P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

由上述定義可以,相似矩陣必須為相同的方陣；等價(jià)矩陣只需要（m*n）相同.

可見,相似矩陣就是等價(jià)矩陣,但是其定義比等價(jià)矩陣嚴(yán)格.

相似矩陣的充分必要條件

性質(zhì)

相似變換是矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身相似。

2、對(duì)稱性：如果A和B相似，那么B也和A相似。

3、傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

矩陣間的相似關(guān)系與所在的域無關(guān)：設(shè)K是L的一個(gè)子域，A和B是兩個(gè)系數(shù)在K中的矩陣，則A和B在K上相似當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)贚上相似。這個(gè)性質(zhì)十分有用：在判定兩個(gè)矩陣是否相似時(shí)，可以隨意地?cái)U(kuò)張系數(shù)域至一個(gè)代數(shù)閉域，然后在其上計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

如果兩個(gè)相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個(gè)置換矩陣，那么就稱;A和B“置換相似”。 如果兩個(gè)相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個(gè)酉矩陣，那么就稱;A和B“酉相似”。譜定理證明了每個(gè)正規(guī)矩陣都酉相似于某個(gè)對(duì)角矩陣。

擴(kuò)展資料：

相似變換下的不變性質(zhì)

兩個(gè)相似的矩陣有許多相同的性質(zhì)：

1、兩者的秩相等。

2、兩者的行列式值相等。

3、兩者的跡數(shù)相等。

4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同。

5、兩者擁有同樣的特征多項(xiàng)式。

6、兩者擁有同樣的初等因子

矩陣等價(jià)和相似有什么區(qū)別嗎

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中，在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。

相關(guān)信息：

兩個(gè)矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)和另一個(gè)矩陣B的行數(shù)相等時(shí)才能定義。

矩陣分解是將一個(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學(xué)上涉及到的是一種組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì)。而覆蓋設(shè)計(jì)，填裝設(shè)計(jì)，斯坦納系，t-設(shè)計(jì)都是離散數(shù)學(xué)中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求。

矩陣相似的幾何意義

簡(jiǎn)單地講就是一個(gè)矩陣可以經(jīng)過初等行列變換后變成另一個(gè)矩陣，這兩個(gè)矩陣是相似的（不是嚴(yán)格定義），其次，按照書本定義，可以按照上面的說法來理解。

在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出。

矩陣的相關(guān)簡(jiǎn)介：

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中，在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用，計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣，矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。

將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算，對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣。

相似的兩個(gè)矩陣有什么性質(zhì)

相似矩陣的性質(zhì)是：

1、反身性：任意矩陣都與其自身相似。

2、對(duì)稱性：如果A和B相似，那么B也和A相似。

3、傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

相似矩陣的判定方法：

（1）判斷特征值是否相等。

（2）判斷行列式是否相等。

（3）判斷跡是否相等。

（4）判斷秩是否相等。

兩個(gè)矩陣相似充要條件是：特征矩陣等價(jià)行列式因子相同不變，因子相同初等因子相同，且特征矩陣的秩相同轉(zhuǎn)置矩陣相似。兩個(gè)矩陣若相似于同一對(duì)角矩陣，這兩個(gè)矩陣相似。