什么時(shí)候需要單位化 正交化分母需要開根嗎

求助 什么情況需要單位化什么時(shí)候正交化？特征向量什么時(shí)候需要單位化？線性代數(shù)中1.為什么要正交化，2.為什么要單位化.具體解釋下謝謝？求可逆矩陣P的時(shí)候，什么情況要單位化，什么時(shí)候不用？

本文導(dǎo)航

• 正交化分母需要開根嗎
• 怎么判斷特征向量是否需要正交化
• 線性代數(shù)化簡(jiǎn)中的符號(hào)
• 為什么求正交矩陣時(shí)要單位化

正交化分母需要開根嗎

當(dāng)特征值為重根時(shí)，求出的基礎(chǔ)解系中的特征向量對(duì)應(yīng)位置相乘 然后累加為0 則不需要施密特正交化，否則需要施密特正交化

一般是題目會(huì)要求你求正交矩陣，將二次型轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型

怎么判斷特征向量是否需要正交化

如果題目只是要求求一個(gè)矩陣的特征向量，結(jié)果是不需要單位化的。

如果題目是要求求一個(gè)可逆陣P，使P^<-1>*A*P成為對(duì)角陣，求得的矩陣A的特征向量也不需要單位化的。

如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，題目要求求正交矩陣P，使P^T*A*P成為對(duì)角陣，則求得的A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交陣P。

在二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的題目里，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交變換的。

特征向量對(duì)應(yīng)的特征值是它所乘的那個(gè)縮放因子。特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。線性變換的主特征向量是最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

擴(kuò)展資料：

從數(shù)學(xué)上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個(gè)特征向量，λ是相應(yīng)的特征值。這一等式被稱作“特征值方程”。

假設(shè)它是一個(gè)線性變換，那么v可以由其所在向量空間的一組基表示，其中vi是向量在基向量上的投影（即坐標(biāo)），這里假設(shè)向量空間為n 維。由此，可以直接以坐標(biāo)向量表示。利用基向量，線性變換也可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣乘法表示。

其中λ是該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的特征值。這樣一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，如果λ = 0，它就不變，如果λ為正，它就按比例增長(zhǎng)，如果λ是負(fù)的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數(shù)在兔子更多的地方繁殖更快，從而滿足一個(gè)正λ的特征值方程。

參考資料來源：百度百科——特征向量

線性代數(shù)化簡(jiǎn)中的符號(hào)

張宇線代講得很清晰，用坐標(biāo)系來理解更容易。拿三階來說就是三個(gè)維度為立體，二次型轉(zhuǎn)換相當(dāng)于將原來的坐標(biāo)整個(gè)以原點(diǎn)為定點(diǎn)轉(zhuǎn)一定角度。然后得到一個(gè)新的三維空間坐標(biāo)系，為了保證坐標(biāo)軸都垂直對(duì)應(yīng)線代里面的正交化，為了保證新坐標(biāo)長(zhǎng)度不變則要進(jìn)行單位化。當(dāng)維數(shù)高了就無法用空間理解，但依然可以根據(jù)三維來推導(dǎo)理解。謝謝采納

為什么求正交矩陣時(shí)要單位化

如果是使用正交矩陣化為相似標(biāo)準(zhǔn)型，矩陣p都要單位化。如果特征值不同，只需要單位化，不需要正交化；特征值有重根，看解向量是不是正交，不是還需要正交化，單位化