曲面積分為什么那么難 三重積分的計(jì)算方法詳細(xì)步驟

請(qǐng)問如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)曲面積分部分？曲線積分、曲面積分 難學(xué)嗎？關(guān)于曲線曲面積分的學(xué)習(xí)方法，距離高數(shù)下的考試還有一個(gè)月，感覺曲面積分好難啊，還有希望嗎，我該如何做？有沒有覺得三重積分和曲面積分難的，為什么曲面積分的方法那么靈活？

本文導(dǎo)航

• 高等數(shù)學(xué)定積分與不定積分技巧
• 曲線積分和二重積分的區(qū)別
• 曲面積分與曲線積分的公式
• 零基礎(chǔ)可以學(xué)高數(shù)嗎
• 三重積分的計(jì)算方法詳細(xì)步驟
• 曲面積分計(jì)算出來的值是什么

高等數(shù)學(xué)定積分與不定積分技巧

關(guān)鍵在于自己，學(xué)好曲面積分首先要學(xué)好曲線積分，你去圖書館姐幾本參考書，看例題，多做點(diǎn)，就可以了

曲線積分和二重積分的區(qū)別

不難學(xué)的，哥們給你說說吧：

第一類曲線積分，可以通過將ds轉(zhuǎn)化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關(guān)系，只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲線積分后，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的曲面積分，再將曲面積分投影到坐標(biāo)面上轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算，這是第一類曲線積分和二重積分關(guān)系，但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關(guān)系……

第一類曲面積分，可以通過公式變換，將dS轉(zhuǎn)化為dxdy，直接轉(zhuǎn)化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關(guān)系，只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分來計(jì)算

曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區(qū)別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進(jìn)行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標(biāo)上進(jìn)行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標(biāo)進(jìn)行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據(jù)方程把一個(gè)量表示成其他的兩個(gè)量的關(guān)系，因?yàn)槭窃诮o定的曲線或曲面方程上進(jìn)行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個(gè)量之間可以代換的，這個(gè)普通的定積分和二重積分不能這么做的……

第一類曲線積分：對(duì)線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠(yuǎn)小于上限……求解時(shí)米有第二類曲線積分簡(jiǎn)單，需要運(yùn)用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進(jìn)行積分，這個(gè)公式書里面有的，就是對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，然后再表示成平分和的根式……

第二類曲線積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……

第一類曲線積分和第二類曲線積分的關(guān)系：可以用余弦進(jìn)行代換，余弦值指的是線段的切向量，這個(gè)書本里面的，我就不寫了

第一類曲面積分：對(duì)面積的曲面積分，求解時(shí)要通過給定的曲面方程形式，轉(zhuǎn)化成x與y的形式，這個(gè)公式書里面也有的，就是求偏導(dǎo)吧？然后表示成平方和根式的形式

第二類曲面積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這個(gè)簡(jiǎn)單一些，好好看看就可以了

兩類曲面積分的聯(lián)系：可以用余弦代換，但是這個(gè)余弦是曲面的法向量

下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯(lián)系，方便你記憶：都是要轉(zhuǎn)化成在xyz坐標(biāo)面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，第一類曲面積分是求偏導(dǎo)，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當(dāng)于正方體求對(duì)角線，你想想是不是，肯定要出現(xiàn)平方和的根式，你好好看看推導(dǎo)過程……

第二類曲線積分與第二類曲面積分的關(guān)系：

第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡(jiǎn)

第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

這些東西很有趣的，你要學(xué)會(huì)對(duì)應(yīng)的記憶啊……

曲面積分與曲線積分的公式

　　首先仔仔細(xì)細(xì)的看一下那四類積分，把那些積分公式寫下來，然后盡量直觀的理解一下，比如對(duì)坐標(biāo)的曲線積分以及對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，前者可以理解為力的做功，后者理解為已知曲線密度，求曲線質(zhì)量，這樣有了理解之后對(duì)公式的記憶會(huì)有幫助的，要不然會(huì)很亂。

　　理解了公式之后，就可以運(yùn)用一些對(duì)稱性了，那些對(duì)稱性的公式也要理解，并不是硬背的，什么關(guān)于x是偶函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，積分是兩倍還是為0這點(diǎn)也很重要，陳文登的書上面好像都總結(jié)了。然后理解公式以后就到教科書上找相應(yīng)的例子鞏固一下，同濟(jì)第五版的高等數(shù)學(xué)，上面的例題很簡(jiǎn)單，并且也把知識(shí)點(diǎn)包含進(jìn)去，所以是個(gè)很不錯(cuò)的教材。

第一是要理解公式，不要看到公式不知道什么含義，或者記不起公式，這就是前面說的按其物理含義直觀去理解記牢。找一些相關(guān)題目做一做，同時(shí)在坐標(biāo)的曲線積分和坐標(biāo)的曲面積分中，特別要注意你所考慮的曲線或曲面的方向。曲面一般是朝Z軸方向?yàn)檎?，即與Z軸的正方向夾角小于90度時(shí)為正，反之為負(fù)。找一些典型題目做一做，自己也總結(jié)一下，如果積分區(qū)域是對(duì)稱的話，盡量考慮應(yīng)用對(duì)稱性。

　　設(shè)Σ為光滑曲面，函數(shù)f(x,y,z)在Σ上有定義，把Σ任意地分成n個(gè)小曲面Si,其面積設(shè)為ΔSi，在每個(gè)小曲面Si上任取一點(diǎn)(Xi,Yi,Zi) 作乘積f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，記λ=max(ΔSi的直徑) ， 若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi當(dāng)λ→0時(shí)的極限存在，且極限值與Σ的分法及取點(diǎn)（Xi,Yi,Zi）無關(guān)，則稱極限值為f（x,y,z）在Σ上對(duì)面積的曲面積分，也叫做第一類曲面積分。即為∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，Σ叫做積分曲面，dS叫做面積微元。

零基礎(chǔ)可以學(xué)高數(shù)嗎

積分的思想就是先微分再求和，這個(gè)思想是比較明確的。

曲面積分一般是二重積分，也就是求兩次積分，通常來說第一次把一個(gè)曲面切割成“線”，再將每一個(gè)“線”切割成“點(diǎn)”，然后進(jìn)行二重積分。具體地說，比如一個(gè)半球面，一般要切割成無窮多個(gè)圓環(huán)，再將每個(gè)圓環(huán)切割成微元；再或者一個(gè)正四棱錐，一般要切割成無窮多個(gè)正方形，再將每一個(gè)正方形切割成微元?？傊鶕?jù)這個(gè)曲面的形狀來決定怎么切。

體積分也是類似的，一維一維地剖分。

高等數(shù)學(xué)就是比較抽象，建議補(bǔ)充一些練習(xí)題，每完成一道題就品味一下重積分的運(yùn)用方法，最終達(dá)到獨(dú)立完成習(xí)題。

再有，就是要注意正負(fù)號(hào)

三重積分的計(jì)算方法詳細(xì)步驟

應(yīng)該說

多重積分和線面積分應(yīng)該是保證得分的點(diǎn)呵呵，主要是要熟練一些性質(zhì)的靈活使用

減小運(yùn)算量和復(fù)雜度。實(shí)質(zhì)上這類問題是最容易拿分的

對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用掌握好，三大公式

以及一些幾何意義的靈活使用。

曲面積分計(jì)算出來的值是什么

曲面積分的話，他因?yàn)檫€和高斯公式又和斯托克斯公式這一些相互結(jié)合，本身的話三個(gè)面投影的話也會(huì)比較多，所以你這個(gè)比較靈活。