線代證明題是什么 圓切線證明題

線代的一道證明題，簡(jiǎn)單的線代證明題，線代證明題求解，線代證明題，線代證明題，線代證明題怎么做 題目如下圖？

本文導(dǎo)航

• 線代大題答案唯一嗎
• 切割線定理證明及例題
• 線面垂直證明方法
• 20套平行線證明題
• 圓切線證明題
• 證明題怎么做輔助線

線代大題答案唯一嗎

當(dāng)n=r的時(shí)候 顯然成立

當(dāng)n>r的時(shí)候

設(shè)原r維向量組系數(shù)矩陣為M

設(shè)n維系數(shù)向量組系數(shù)矩陣為N

顯然M N具有相同的列數(shù) 不同的行數(shù)

有題目知r維向量組線性無(wú)關(guān)

則M的秩r(M)=r 也就是說(shuō)M是列滿秩矩陣

又因?yàn)?r=r(M)=<r(N)<=Min{行數(shù)，列數(shù)}=列數(shù)=r

所以 r(N)=r 也就是說(shuō)N也是列滿秩矩陣 所以n維向量組線性無(wú)關(guān)。

切割線定理證明及例題

假設(shè) a1+a2 是A的特征向量則 A(a1+a2) = λ(a1+a2)=λa1+λa2

又a1,a2分別是屬于A的兩個(gè)不同的特征值x1,x2的特征向量 Aa1 =x1*a1 ,Aa2 = x2*a2

A(a1+a2) =x1*a1+x2*a2

λa1+λa2 = x1*a1+x2*a2 即 (λ-x1)a1+(λ-x2)a2=0

因x1 不等于x2, a1,a2線形無(wú)關(guān)，λ-x1=λ-x2=0 ，x1 =x2

這與題目條件矛盾，因此a1+a2不是A的特征向量

線面垂直證明方法

我給一個(gè)不用到相似矩陣的證明, 不過(guò)本質(zhì)上是一樣的.

方法是考慮線性方程組(E-A^2)X=0, 我們給出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解就能說(shuō)明r(E-A^2)=0, 即A^2=E.

實(shí)際上由(E-A^2)=(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A), (E-A)X=0與(E+A)X=0的解都是(E-A^2)X=0的解.

而由條件r(E+A)+r(E-A)=n, 這兩個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系合在一起恰有n個(gè).

但(E-A)X=0與(E+A)X=0的公共解只有0解(相加得2EX=0).

所以這n個(gè)解線性無(wú)關(guān)(這里需要一些證明, 可以試著自己補(bǔ)一下).

20套平行線證明題

關(guān)注的點(diǎn)不是a1，a2是否線性無(wú)關(guān)，關(guān)注的點(diǎn)在等式（3）是否能成立，當(dāng)a1，a2的系數(shù)都是0，這個(gè)等式肯定成立，因?yàn)?乘a1+0乘a2肯定等于0，我們現(xiàn)在只先考察這種最簡(jiǎn)單的情況，如果能推出來(lái)就不用考察別的情況了。

所以接下來(lái)才要看那個(gè)線性齊次方程組是否有非零解，答案是有的，就是存在k1,k2,k3讓等式（3）是成立的，（3）成立可推出(2)成立，（2）成立可推出(1)成立，而且k1,k2,k3不同時(shí)為0。

圓切線證明題

具體答案過(guò)程應(yīng)該是這樣的:

A^2=1/4(B^2+BE+EB+E^2)

但是因?yàn)镋是單位矩陣，所以E和任何矩陣相乘都是其他矩陣，比如說(shuō)EA=A EE＝E

所以A^2=1/4(B^2+2B+E)

又因?yàn)锽^2=E

所以A^2=1/4(2B+2E)=1/2(B+E)=A

證明題怎么做輔助線

證明: AB是對(duì)A的列變換，不改變A的行向量之間的線性關(guān)系，也就是說(shuō)，如果A的某行能用其他行線性表示，乘以B后，你還可以用相同的線性系數(shù)進(jìn)行線性表示。這樣，A,AB各行直接的線性關(guān)系和A完全一致，所以，

r(A,AB)=r(A)