滿秩對稱矩陣怎么求 求矩陣的秩的三種方法
實對稱矩陣是否滿秩?為什么?請問這個對稱矩陣怎么算的,求過程?線性代數(shù)怎么求對稱矩陣?矩陣滿秩 怎樣證明該矩陣的轉(zhuǎn)置與該矩陣相乘所得矩陣為對稱正定矩陣且滿秩?求矩陣的秩的三種方法,一個對稱矩陣的逆矩陣怎么求方便?比如4階的從上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆?
本文導航
- 實對稱矩陣是否滿秩?為什么
- 請問這個對稱矩陣怎么算的,求過程
- 線性代數(shù)怎么求對稱矩陣
- 矩陣滿秩 怎樣證明該矩陣的轉(zhuǎn)置與該矩陣相乘所得矩陣為對稱正定矩陣且滿秩
- 求矩陣的秩的三種方法
- 一個對稱矩陣的逆矩陣怎么求方便?比如4階的從上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆
實對稱矩陣是否滿秩?為什么
不一定滿秩,實對稱矩陣A幣可以對角化則
P^(-1)AP=Λ
r(A)=r(Λ)
若Λ的特征值有0,則,A與Λ都不滿秩
所以得證
請問這個對稱矩陣怎么算的,求過程
這種你要學會找規(guī)律 你把第二行加到第三行 你會發(fā)現(xiàn) 第三行的第一列為0了 第二列和第三列一樣 然后就可以提取出來23列變?yōu)? 然后再調(diào)換23行的位置 再化簡下第三行 就變成最簡形了
線性代數(shù)怎么求對稱矩陣
元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣
1.對于任何方形矩陣X,X+X^T是對稱矩陣。
2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
3.對角矩陣都是對稱矩陣。
矩陣滿秩 怎樣證明該矩陣的轉(zhuǎn)置與該矩陣相乘所得矩陣為對稱正定矩陣且滿秩
(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
所以 A^TA 為對稱矩陣.
滿秩矩陣的乘積 仍滿秩,故 A^TA滿秩
對任一非零向量x,由于A滿秩,Ax≠0
所以 (Ax)^T(Ax) > 0
即 x^T(A^TA)x > 0
所以 A^TA 正定.
求矩陣的秩的三種方法
求矩陣的秩的幾種方法:
1、通過對矩陣做初等變換(包括行變換以及列變換)化簡為梯形矩陣求秩。此類求解一般適用于矩陣階數(shù)不是很大的情況,可以精確確定矩陣的秩,而且求解快速比較容易掌握。
2、通過矩陣的行列式,由于行列式的概念僅僅適用于方陣的概念。通過行列式是否為0則可以大致判斷出矩陣是否是滿秩。
3、對矩陣做分塊處理,如果矩陣階數(shù)較大時將矩陣分塊通過分塊矩陣的性質(zhì)來研究原矩陣的秩也是重要的研究方法。此類情況一般也是可以確定原矩陣秩的。
4、對矩陣分解,此處區(qū)別與上面對矩陣分塊。例如n階方陣A,R分解(Q為正交陣,R為上三角陣)以及Jordan分解等。通過對矩陣分解,將矩陣化繁為簡來求矩陣的秩也會有應用。
5、對矩陣整體做初等變換(行變換為左乘初等矩陣,列變換為右乘初等矩陣)。此類情況多在證明秩的不等式過程有應用,技巧很高與前面提到的分塊矩陣聯(lián)系密切。
擴展資料:
矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個概念。在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A),rk(A)或rank A。
在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地,行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點說,如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量,秩就是這些行向量或者列向量的秩,也就是極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)。
參考資料:百度百科-矩陣的秩
一個對稱矩陣的逆矩陣怎么求方便?比如4階的從上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆
用 (A , E) 做初等行變換 變到 (E , B)的形式,這時候B的值正好是A逆。
構(gòu)造矩陣 (A,E) =
1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0 1 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1
r2-r1, r3-r1, r4-r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 -2 -2 0 -1 0 0 1
r2*(-1/2),r2*(-1/2),r2*(-1/2),
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4
r1-r4,r2-r4,r3-r4
1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4
r1-r2-r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4
定理
(1)逆矩陣的唯一性。
若矩陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的,并記作A的逆矩陣為A-1。
(2)n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=m。
對n階方陣A,若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。
(3)任何一個滿秩矩陣都能通過有限次初等行變換化為單位矩陣。
推論 滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個初等矩陣的乘積。
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