線性無關(guān)組是什么 線性無關(guān)和極大無關(guān)組的關(guān)系

什么是線性無關(guān)？什么叫線性無關(guān)？能形象直觀說一下嗎？什么叫線性無關(guān)？如何理解線性無關(guān)？向量組中極大線性無關(guān)組如何找？是如何定義的？什么叫線性無關(guān)？線性無關(guān)有什么性質(zhì)？

本文導(dǎo)航

• 什么是線性無關(guān)解
• 證明線性無關(guān)的五種方法
• 線性無關(guān)怎么求
• 線性無關(guān)判斷方法總結(jié)
• 怎么判斷向量組中的極大無關(guān)組
• 線性無關(guān)和極大無關(guān)組的關(guān)系

什么是線性無關(guān)解

給定向量組A:a1,a2,----am,如果存在不全為零的數(shù)k1,k2---km,使

k1a1+k2a2+-----kmam=0,則稱向量組 A是線性相關(guān)的,否則成它是線性無關(guān).

我是查閱了同濟(jì)大學(xué)4版的。給我點分吧,我很辛苦的。

證明線性無關(guān)的五種方法

郭敦顒回答：

對應(yīng)點不在直線上叫線性無關(guān)；

一次函數(shù)是線性相關(guān)的，函數(shù)非一次的如拋物線、雙曲線函數(shù)都是線性無關(guān)的；記注，所謂線性無關(guān)是指與直線無關(guān)的，所說的線性是指直線性。

線性無關(guān)怎么求

K1A1+K2A2+......+KnAn=0.........K1到Kn全部為零。。。。則線性無關(guān)

線性無關(guān)判斷方法總結(jié)

線性相關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中有一個或者多個量可以被其余量表示。線性無關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中沒有一個量可以被其余量表示。從維數(shù)空間上講，例如，一個三維空間，那么必須用三個線性無關(guān)的向量來表示，如果在加上另外一個向量，那么這個向量必然可以由上述三個向量唯一的線性表出。在三維空間里，互相垂直的三個坐標(biāo)軸就是一組最簡單的現(xiàn)行無關(guān)的向量。并且是三維空間上的極大無關(guān)組。其實，只要是不在同一平面的三個互不平行的向量都可以組成三維空間上的極大無關(guān)組。那也就是線性無關(guān)的。至于如何理解線性相關(guān)和現(xiàn)行無關(guān)，其實很簡單，舉個線性空間上的例子，只要考察這一組向量是否能構(gòu)成對應(yīng)維數(shù)的線性空間上的極大無關(guān)組，也就是說這個維數(shù)空間上是否是所有的量都可以通過這組向量表示出。再比如，對一個三維空間，如果有三個向量，并且都在同一平面內(nèi)，那么這三個向量無法表示出整個三維空間里的所有向量，因為這三個向量是線性相關(guān)的。

怎么判斷向量組中的極大無關(guān)組

首先把這個向量組化為行最簡形即階梯矩陣，找到每列非零元素即可，例如：

a1 ;a2 ;a3 ;a4

1 ; ;0 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;1 ; ;1 ; ; 0

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 1

0 ; ;0 ; ;0 ; ; 0

極大線性無關(guān)組即為：a1,a2,a4；a2,a3,a4；a1,a3,a4；a1,a2,a3不是極大無關(guān)組。

極大線性無關(guān)組是線性空間的基對向量集的推廣。設(shè)V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關(guān)，但在這部分向量中，加上S的任一向量后都線性相關(guān)，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關(guān)組。

V中子集的極大線性無關(guān)組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關(guān)組。它們所含的向量個數(shù)（基數(shù)）相同。V的子集S的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)（基數(shù)），稱為S的秩。

擴(kuò)展資料：

基本性質(zhì)：

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組；

（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；

（3）極大線性無關(guān)組對于每個向量組來說并不唯一，但是每個向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量；

（4）齊次方程組的解向量的極大無關(guān)組為基礎(chǔ)解系。

（5）任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。

（6）一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的。

（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關(guān)向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。

參考資料：極大線性無關(guān)組 百度百科

線性無關(guān)和極大無關(guān)組的關(guān)系

在線性代數(shù)里，矢量空間的一組元素中，若沒有矢量可用有限個其他矢量的線性組合所表示，則稱為線性無關(guān)或線性獨立，反之稱為線性相關(guān)。

例如在三維歐幾里得空間R的三個矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關(guān)；但(2, ?1, 1)，(1, 0, 1)和(3, ?1, 2)線性相關(guān)，因為第三個是前兩個的和。

性質(zhì)：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)線性相關(guān)的充要條件是這n個向量中的一個為其余(n-1)個向量的線性組合。

2、一個向量線性相關(guān)的充分條件是它是一個零向量。

3、兩個向量a、b共線的充要條件是a、b線性相關(guān)。

4、三個向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線性相關(guān)。

5、n+1個n維向量總是線性相關(guān)。（個數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)）

擴(kuò)展資料：

注意事項：

1、對于任一向量組而言,，不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的。

2、向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關(guān); 若a≠0, 則說A線性無關(guān)。

3、包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的。

4、含有相同向量的向量組必線性相關(guān)。

5、增加向量的個數(shù)，不改變向量的相關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性相關(guān)的)（局部相關(guān)，整體相關(guān)）

6、減少向量的個數(shù)，不改變向量的無關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性無關(guān)的）（整體無關(guān)，局部無關(guān)）

7、一個向量組線性無關(guān)，則在相同位置處都增加一個分量后得到的新向量組仍線性無關(guān)。（無關(guān)組的加長組仍無關(guān)）

8、一個向量組線性相關(guān)，則在相同位置處都去掉一個分量后得到的新向量組仍線性相關(guān)。（相關(guān)組的縮短組仍相關(guān)）

9、若向量組所包含向量個數(shù)等于分量個數(shù)時，判定向量組是否線性相關(guān)即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關(guān)；否則是線性無關(guān)的。

參考資料來源：百度百科-線性相關(guān)