高斯定理的積分怎么算 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

曲面積分計(jì)算問(wèn)題（高斯定理的利用，在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來(lái)的？利用高斯定理計(jì)算曲面積分，高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分?。繕?gòu)造如下形式的高斯求積公式。

本文導(dǎo)航

• 曲面積分計(jì)算問(wèn)題（高斯定理的利用）
• 在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來(lái)的
• 利用高斯定理計(jì)算曲面積分
• 高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分??？
• 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

曲面積分計(jì)算問(wèn)題（高斯定理的利用）

高斯公式要求封閉的曲面，所以在下面補(bǔ)了一個(gè)面，然后再減去，最后用柱面坐標(biāo)積分，我是這么想的~~~

I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy

=∫【0，2π】d0∫【0，1】dr∫[0，(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy

=24π/5-6π=-6π/5

而∑表示的是一個(gè)拋物面，在dxdy上的投影是一個(gè)圓形面積為2π

在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來(lái)的

4π*r平方 是 球面（高斯面）的面積。因?yàn)樵诟咚姑嫔希妶?chǎng)強(qiáng)度E大小相同，方向都垂直于高斯面，所以，∫Eds=E∫ds=E*4π*r 平方

4π*r平方，因?yàn)樵诟咚姑嫔希妶?chǎng)強(qiáng)度E大小相同，方向都垂直于高斯面，所以，∫Eds=E∫ds=E*4π*r

利用高斯定理計(jì)算曲面積分

取z=0下側(cè)為∑1

z=3上側(cè)為∑2

那么∫∫∑1 xdydz+ydzdx+zdxdy=0

∫∫∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy=3∫∫dxdy=3(9π)=27π

且根據(jù)高斯公式

∫∫∑+∑1+∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy

=3∫∫∫dV=3(3x9π)=81π

所以

原積分=81π-0-27π=54π

高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分??？

好比高斯定理的積分形式，就是一個(gè)面積分到體積分，然后根據(jù)散度的定義：（簡(jiǎn)單描述就是）矢量場(chǎng)f對(duì)封閉曲面ds的通量與封閉曲面所包圍的▽V（趨近于0時(shí))的比的極限就被稱為矢量場(chǎng)f的散度。拿電場(chǎng)來(lái)說(shuō)，也就是電場(chǎng)強(qiáng)度E對(duì)ds的通量等于電場(chǎng)強(qiáng)度E的散度對(duì)體積的積分。數(shù)學(xué)表達(dá)式：通量＝∫EdS＝∫（▽·E)dV（前面是封閉曲面積分，后面是曲面包圍的體積分)。

構(gòu)造如下形式的高斯求積公式

高斯求積公式是變步長(zhǎng)數(shù)值積分的一種，基本形式是計(jì)算［-1，1］上的定積分。

假設(shè)現(xiàn)在要求f（x）在［-1，1］上的積分值，只允許計(jì)算一次f（x）的值，會(huì)選取一點(diǎn)x0，計(jì)算出f（x0），用A=f（x0）*2作為近似值?，F(xiàn)在問(wèn)題是怎樣選取x0，使得結(jié)果盡可能精確，直覺(jué)告訴我們選取區(qū)間中點(diǎn)最合適，這也就是所謂的中點(diǎn)公式，也就是1點(diǎn)高斯求積公式。

含義

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái)，否則這條磁力線就不會(huì)閉合起來(lái)了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來(lái)的磁通量為正，那么就可以得到通過(guò)一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。這個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

以上內(nèi)容參考：百度百科-高斯公式