什么樣的函數(shù)有無窮小 七種基本初等函數(shù)

2.函數(shù)什么情況下無窮大，什么情況下無窮?。繜o窮小是什么意思？六個基本初等函數(shù)在哪些過程中是無窮小和無窮大已被使用，六個基本初等函數(shù)在哪些過程中是無窮小和無窮大，怎么用定義來證明一個函數(shù)為無窮小？下列函數(shù)在什么情況下是無窮小量 無窮大量？

本文導(dǎo)航

• 函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系說明
• 無窮大的通俗意思
• 六種基本初等函數(shù)定義式
• 七種基本初等函數(shù)
• 怎么證明函數(shù)的無窮大量
• 函數(shù)無窮小量的判斷

函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系說明

當(dāng)x→0時，x+1→1，ln(x+1)→0，即原函數(shù)是無窮小；當(dāng)x→+∞時，x+1→+∞，ln(x+1)→+∞，即原函數(shù)是正無窮大；當(dāng)x→-1+時，x+1→0+，ln(x+1)→-∞，即原函數(shù)是負(fù)無窮大；

無窮大的通俗意思

無窮小指的是數(shù)學(xué)分析中的一個概念，在經(jīng)典的微積分或數(shù)學(xué)分析中，無窮小量通常以函數(shù)、序列等形式出現(xiàn)。

無窮小量即以數(shù)0為極限的變量，無限接近于0。確切地說，當(dāng)自變量x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函數(shù)值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時的無窮小量。

無窮小量是以0為極限的函數(shù)，而不同的無窮小量收斂于0的速度有快有慢。因此兩個無窮小量之間又分為高階無窮小;，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小。

與無窮小對應(yīng)的就是無窮大，在集合論中對無窮有不同的定義。德國數(shù)學(xué)家康托爾提出，對應(yīng)于不同無窮集合的元素的個數(shù)（基數(shù)），有不同的“無窮”。

兩個無窮大量之和不一定是無窮大，有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大（如常數(shù)0就算是有界函數(shù)），有限個無窮大量之積一定是無窮大。

六種基本初等函數(shù)定義式

1、無窮小

2、無窮大

3、無窮小

4、無窮小

極限為 0 就是無窮小，分母為 0 分子不為 0 的就是無窮大 。

七種基本初等函數(shù)

正比例函數(shù)或者一次函數(shù)在k大于零的時候，它是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x趨向于正無窮的時候函數(shù)值也趨向于正無窮。反比例函數(shù)y等于x分之一。當(dāng)x趨向于正無窮的時候，函數(shù)值y趨向于零。二次函數(shù)如果開口向上，但x趨向于正無窮的時候函數(shù)值y趨向于正無窮如果開口向下正好相反。高中的對數(shù)函數(shù)如果底數(shù)大于一。當(dāng)x趨向于正無窮的時候，函數(shù)值完也趨向于正無窮。

怎么證明函數(shù)的無窮大量

證明：

對任意的ε>0，令│x│<1/2，則1/(x+1)<2。解不等式

│x/(1+x)│<│2x│=2│x│<ε

得│x│<ε/2，取δ=min[1/2,ε/2]。

于是，對任意的ε>0，總存在δ=min[1/2,ε/2]。當(dāng)│x│<δ時，有│x/(1+x)│<ε。

即 lim(x->0)[x/(1+x)]=0。

無窮小性質(zhì)：

1、無窮小量不是一個數(shù)，它是一個變量。

2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。

3、無窮小量與自變量的趨勢相關(guān)。

4、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。

5、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。

6、有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量。

7、特別地，常數(shù)和無窮小量的乘積也為無窮小量。

8、恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大，無窮大的倒數(shù)為無窮小。

函數(shù)無窮小量的判斷

1、關(guān)于下列函數(shù)在什么情況下是無窮小量，無窮大量，求解過程見上圖。

2、函數(shù)是無窮大量，是指自變量變化時，函數(shù)趨于無窮大，則此函數(shù)就是無窮大。

3、函數(shù)是無窮小量，是指自變量變化時，函數(shù)的極限等于0，則此函數(shù)就是無窮小量。

具體的函數(shù)在什么情況是無窮大及無窮小，詳細(xì)步驟及說明見上。