什么樣的函數(shù)不可積 不可積分的函數(shù)一般有哪些
函數(shù)不可積是什么情況?什么樣的函數(shù)不可積,函數(shù)可積不可積需要怎么驗(yàn)證?有什么函數(shù)是不可積的?哪些常見的初等函數(shù)是不可積的,如何判斷一個(gè)函數(shù)不可積,方便求積分的一些方法?哪些函數(shù)不可積。
本文導(dǎo)航
函數(shù)絕對可積的條件
樓上的例子是正確的, 但理論依據(jù)是錯(cuò)誤的.
數(shù)學(xué)分析里面指出, 如果在定義域內(nèi)有有限的不連續(xù)點(diǎn), 則函數(shù)可被黎曼積分.
但如果不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮的, 則函數(shù)不能被黎曼積分.
設(shè)f(x) = 1若x為有理數(shù)且f(x)=0若x為無理數(shù), 則f(x)在[0,1]上黎曼不可積 (其他積分方法仍然可能成立)
分析: 因?yàn)橛欣頂?shù)和無理數(shù)在[0,1]內(nèi)都是稠密的, 所以無論如何對[0,1]進(jìn)行分割, 在每段小區(qū)間內(nèi)總有有理數(shù)和無理數(shù), 所以函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的最小值是0, 最大值是1, 所以求和上限的極限是1, 求和下限的極限是0, 兩者不收斂于同一個(gè)值, 所以黎曼不可積.
常見的不可積分函數(shù)
正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是不可積的,雖然它的原函數(shù)(即不定積分)存在,但不能用初等函數(shù)表達(dá)出來。
習(xí)慣上,如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來,就說這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”,否則就說它是“積不出”的函數(shù)。比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù),但是這些積分在概率論,數(shù)論,光學(xué),傅里葉分析等領(lǐng)域起著重要作用。
(1)∫e^(-x2)dx;(2)∫(sinx)/xdx;
(3)∫1/(lnx)dx;(3)∫sinx2dx;
(5)∫根號(hào)(a2sin2x+b2cos2x)dx(a2≠b2)
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù):Φ(x)=[1/根號(hào)(2π)]∫(-∞,x)e^(-x2/2)dx
這個(gè)函數(shù)是不可積的,但是它的原函數(shù)是存在的,只是不能用初等函數(shù)表示而已。 習(xí)慣上,如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來,就說這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”,否則就說它是“積不出”的函數(shù)。比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù) ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是從別人那粘貼過來的..原函數(shù)我也不知道,不過希望下面的對你有幫助 ___________________________________ 下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞,下限為0) 因?yàn)閟int/t不存在初等函數(shù)的原函數(shù),所以下面引入一個(gè)“收斂因子”e^(-xt)(x>=0),轉(zhuǎn)而討論含參量的積分。 I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (積分上限為∞,下限為0) 顯然: I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0) I`(x)=∫?(e^(-xt)sint/t)/?x dt (積分上限為∞,下限為0) =∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞,下限為0) =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞,下限為0) =-1/(1+x^2) 從而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(對t的積分原函數(shù),上限為∞,下限為0) =1/x -->0 (x-->+∞) 即lim(I(x))-->0 (x-->+∞) 對(1)式兩端取極限: lim(I(x))(x-->+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x-->+∞)
=-π/2+C 即有0=-π/2+C,可得C=π/2 于是(1)式為 I(x)=-arctan(x)+π/2 limI(x)=lim(-arctan(x)+π/2) (x-->0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0)=π/2 因?yàn)閟inx/x是偶函數(shù),所以 ∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為-∞) =π 。 ...
不可積函數(shù)怎么求積分
超越積分
超越積分(通常也稱為不可積),也就是說這個(gè)積分的原函數(shù)不能用我們所學(xué)的任何一種函數(shù)來表示.但如果引入新的函數(shù)erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么該函數(shù)的積分就可表示為erf(x)+c.
道理很簡單,比如∫x^ndx,一般的該積分為1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可積了.因此對于一些積分,如果不引入新的函數(shù),那么那些積分就有可能不可積,而且這種情況還會(huì)經(jīng)常遇到.因此對于一些常見的超越積分,一般都定義了相關(guān)的新函數(shù).
下面就介紹幾個(gè)常見的超越積分(不可積積分)
1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)
2.∫(sinx)/xdx
3.∫(cosx)/xdx
4.∫sin(x^2)dx
5.∫cos(x^2)dx
6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)
7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)
8.∫(sinx)^zdx(z不是整數(shù))
9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)
10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)
11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)
以后凡是看到以上形式的積分,我勸你不要繼續(xù)嘗試,因?yàn)橐陨戏e分都已經(jīng)被證明了為不可積積分.但是要注意的是,雖然以上積分的原函數(shù)不是初等函數(shù),但并不意味著他們的定積分不可求,對于某些特殊點(diǎn)位置的定積分還是有可能算出來的,只不過不能用牛頓-萊布尼茨公式罷了!
比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此處的積分值就是用二重積分和極限夾逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用數(shù)值方法算出近似值.
再如∫[0,+∞)(sinx)/xdx=π/2,此處就是用留數(shù)理論得出的
什么不算基本初等函數(shù)
初等函數(shù)都是可積的,初等函數(shù)的組合也是可積的,但是可積不等于積得出來
不可積分的函數(shù)一般有哪些
你可以翻翻書,看看這一段的篇幅 這兩個(gè)問題都太大了。
1)判斷一個(gè)函數(shù)不可積需要用定積分的定義、可積的充要條件或可積的必要條件,除了最后一種(利用可積的必要條件判斷一個(gè)函數(shù)不可積)外都不是很容易的。
2)求積分的所有有效的方法教材上都一一討論過
函數(shù)不可積分的條件
正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是不可積的,雖然它的原函數(shù)(即不定積分)存在,但不能用初等函數(shù)表達(dá)出來。
從數(shù)學(xué)分析老說,有界函數(shù)都可積,無界函數(shù)可能可積,可能不可積。 注意一個(gè)問題,原函數(shù)無法寫出和不可積不是一個(gè)概念。
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