怎么求導(dǎo)驗(yàn)證單調(diào)性 怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

如何用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性？導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判定方法，用導(dǎo)數(shù)怎么來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性？怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性？怎樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性？

本文導(dǎo)航

• 如何用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性？
• 導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判定方法
• 用導(dǎo)數(shù)怎么來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性
• 怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性
• 怎樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

如何用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性？

分段函數(shù)需要單獨(dú)考慮每個(gè)分段

一階導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)遞增

一階導(dǎo)數(shù)等于零，有極值（拐點(diǎn)）

一階導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)遞減

導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判定方法

（1）若導(dǎo)數(shù)大于零，則單調(diào)遞增，若導(dǎo)數(shù)小于零，則單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)等于零為函數(shù)駐點(diǎn)，不一定為極值點(diǎn)，需代入駐點(diǎn)左右兩邊的數(shù)值求導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性。

（2）若已知函數(shù)為遞增函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)大于等于零，若已知函數(shù)為遞減函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)小于等于零。

用導(dǎo)數(shù)怎么來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性

先寫出原函數(shù)的定義域，然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零，反解出x的范圍，該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間，同理令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間。若定義域在增區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單增，若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減，若以上都不滿足，則函數(shù)不單調(diào)。

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怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，其理論依據(jù)如下：

設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。

要用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性除掌握以上依據(jù)外還須把握好以下兩點(diǎn)：

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的三個(gè)關(guān)系

我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。

1．與為增函數(shù)的關(guān)系。

由前知，能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。

2．時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。

若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有?！喈?dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。

3．與為增函數(shù)的關(guān)系。

由前分析，為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛?。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，特別是研究以下問(wèn)題時(shí)。

二．函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為一個(gè)區(qū)間。

【例】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（）的單調(diào)區(qū)間。

解：（用第一種關(guān)系及單調(diào)區(qū)間的合并），當(dāng)，即或時(shí)，∴在，上為增函數(shù)，又∵在處連續(xù)，且相鄰區(qū)間的單調(diào)性又相同，∴在上為增函數(shù)。

舊教材很少提到函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并，原因在于教師很難講，學(xué)生很難把握，但是新教材引進(jìn)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)之后就很容易說(shuō)明，也很容易理解了。

綜之，用導(dǎo)數(shù)證明劃分函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最常用、也是最基本的應(yīng)用，其它重要性如極值、最值等都必須用到單調(diào)性。它比用單調(diào)性的定義證明要簡(jiǎn)單許多，劃分也容易理解得多。討論可導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行：

確定的定義域；（2）求，令，解方程求分界點(diǎn)；

（3）用分屆點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開區(qū)間；

（4）判斷在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，即可確定的單調(diào)性。

以下是前幾年高考用導(dǎo)數(shù)證明、求單調(diào)性的題目，舉例說(shuō)明如下：

例1設(shè)，是上的偶函數(shù)。

（i）求的值；（ii）證明在上是增函數(shù)。（2001年天津卷）

解：（i）依題意，對(duì)一切有，即，

∴對(duì)一切成立，由此得到，，又∵，∴。

（ii）證明：由，得，

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。∴在上是增函數(shù)。

怎樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

對(duì)給出的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，如果導(dǎo)函數(shù)恒大于零或恒小于零，則該函數(shù)單調(diào)，導(dǎo)函數(shù)恒大于零，單調(diào)遞增，恒小于零，單調(diào)遞減。如果導(dǎo)函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，則看如果導(dǎo)函數(shù)某一段的值大于零，則增，小于零，則減

根據(jù)上面可以大致畫出函數(shù)的變化圖像，值域范圍就能看出來(lái)了

希望能解決您的問(wèn)題。