函數(shù)極限是什么 函數(shù)極限是可以達(dá)到的嗎

如何理解函數(shù)極限的定義？函數(shù)極限怎么理解？函數(shù)極限的性質(zhì)是什么？

本文導(dǎo)航

• 七種函數(shù)極限的直接定義
• 函數(shù)極限是可以達(dá)到的嗎
• 函數(shù)和極限是什么關(guān)系

七種函數(shù)極限的直接定義

在數(shù)學(xué)分析中，極限的證明往往是用ε-δ語(yǔ)言來(lái)證的，而這種證明方式，也是分析數(shù)學(xué)的最精髓的地方。在下愚鈍，在大學(xué)畢業(yè)之后才慢慢領(lǐng)會(huì)這種證明方式的奧妙。ε-δ語(yǔ)言的主要表現(xiàn)方式是，對(duì)于函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)，對(duì)于任意正數(shù)ε,δ，有|x-x0|<δ，且|f(x)-A|<ε，則稱當(dāng)x趨近x0時(shí)，f(x)趨近于A。這個(gè)定義的最大特點(diǎn)是，f(x)在x0處可以沒(méi)有定義，但當(dāng)x無(wú)限接近x0時(shí)，f(x)無(wú)限接近某一個(gè)數(shù)A。而ε-δ語(yǔ)言最難理解的，無(wú)非就是ε，δ這兩個(gè)任意正數(shù)，在證明的過(guò)程中，也經(jīng)常會(huì)看到很多習(xí)題中會(huì)用2ε，ε/2等（注：吉米多維奇是一套不錯(cuò)的習(xí)題，對(duì)于數(shù)學(xué)分析入門很有幫助，但若已入門，個(gè)人覺(jué)得，吉米多維奇更適合理科非數(shù)學(xué)專業(yè)做數(shù)1用）。其實(shí)我個(gè)人感覺(jué)，這里的ε，δ就是無(wú)窮小，或理解為無(wú)限接近，這兩個(gè)無(wú)窮小僅僅是符號(hào)標(biāo)示的不同，其本質(zhì)都是一樣的。但無(wú)窮小不是0，最淺顯的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2)，這里x不能等于2，但當(dāng)x無(wú)限接近2的時(shí)候，f(x)無(wú)限接近4。也就是說(shuō)，點(diǎn)(x,f(x))只能無(wú)限接近(2,4)，但兩點(diǎn)不能重合，如何說(shuō)明這個(gè)無(wú)窮小呢？我就隨便找一個(gè)任意小的正數(shù)δ，使得x與2的距離總是比它小，再隨便找一個(gè)任意小的正數(shù)ε，使得f(x)與4的距離總比ε小。

至于2ε是不是無(wú)窮小，這個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)是在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分學(xué)說(shuō)后，引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個(gè)問(wèn)題，2ε是無(wú)窮小，那么3ε，4ε，……十萬(wàn)乘以ε還是不是無(wú)窮小呢？（見(jiàn)谷堆悖論）直到后來(lái)康托創(chuàng)立集合論，才解決了第二次的數(shù)學(xué)危機(jī)。如果樓主是讀數(shù)學(xué)系，等以后學(xué)實(shí)變函數(shù)的時(shí)候，包括勒貝格的測(cè)度論，就會(huì)對(duì)這里領(lǐng)會(huì)得更為透徹。（ps：康托是個(gè)非常了不起的數(shù)學(xué)家，盡管羅素悖論引發(fā)了第三次的數(shù)學(xué)危機(jī)，以及后世人如ZF公理對(duì)康托集合論進(jìn)行補(bǔ)充，但仍不掩康托的偉大。不得不說(shuō)，康托到目前為止是不可超越的。)

函數(shù)極限是可以達(dá)到的嗎

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)

（無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)

使得當(dāng)x滿足不等式

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限，記作

擴(kuò)展資料

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則

設(shè)f(x)和g(x)在自變量的同一變化過(guò)程中極限存在，則它們的和、差、積、商(作為分母的函數(shù)及其極限值不等于0)的極限也存在，并且極限值等于極限的和、差、積、商。非零常數(shù)乘以函數(shù)不改變函數(shù)極限的存在性。

相關(guān)定理：夾逼定理

設(shè)L(x)、f(x)、R(x)在自變量變化過(guò)程中的某去心鄰域或某無(wú)窮鄰域內(nèi)滿足L(x)≤f(x)≤R(x)，且L(x)、R(x)在自變量的該變化過(guò)程中極限存在且相等，則f(x)在該自變量的變化過(guò)程中極限也存在并且相等。

函數(shù)和極限是什么關(guān)系

函數(shù)極限的性質(zhì)：

1、唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數(shù)列的相等；

2、有界性：如果一個(gè)數(shù)列收斂（有極限），那么這個(gè)數(shù)列一定有界。但是，如果一個(gè)數(shù)列有界，這個(gè)數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列1，－1，1，－1，……（－1)n+1。

3、和實(shí)數(shù)運(yùn)算的相容性：譬如：如果兩個(gè)數(shù)列{xn} ，{yn} 都收斂，那么數(shù)列 ;{xn+yn}也收斂，而且它的極限等于{xn} 的極限和{yn} 的極限的和。

4、與子列的關(guān)系：數(shù)列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限；數(shù)列 ;收斂的充要條件是：數(shù)列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。

幾何意義：

1、在區(qū)間（a-ε，a+ε）之外至多只有N個(gè)（有限個(gè)）點(diǎn)。

2、所有其他的點(diǎn)xN+1，xN+2，（無(wú)限個(gè)）都落在該鄰域之內(nèi)。這兩個(gè)條件缺一不可，如果一個(gè)數(shù)列能達(dá)到這兩個(gè)要求，則數(shù)列收斂于a；而如果一個(gè)數(shù)列收斂于a，則這兩個(gè)條件都能滿足。

換句話說(shuō)，如果只知道區(qū)間（a-ε，a+ε）之內(nèi)有{xn}的無(wú)數(shù)項(xiàng)，不能保證（a-ε，a+ε）之外只有有限項(xiàng)，是無(wú)法得出{xn}收斂于a的，在做判斷題的時(shí)候尤其要注意這一點(diǎn)。