數(shù)列的上極限怎么求 數(shù)列怎么求極限

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本文導(dǎo)航

• 數(shù)列怎么求極限
• 數(shù)列的上極限和下極限
• 總結(jié)求函數(shù)（數(shù)列）極限的方法
• 怎樣求一個數(shù)列的極限
• 怎么求一個數(shù)列的極限點(diǎn)?
• 數(shù)列的極限怎么求?如圖

數(shù)列怎么求極限

你的題目在哪里？

實(shí)際上和求函數(shù)的極限值類似

首先看是不是趨于無窮大

或者直接得到數(shù)字

如果無法確定是具體數(shù)或是無窮大

那么就是不定式類型

把式子化為0/0或者∞/∞

使用洛必達(dá)法則，分子分母同時求導(dǎo)

直到得到結(jié)果

數(shù)列的上極限和下極限

如果數(shù)列收斂，那么它的上極限=下極限=極限

舉個例子，數(shù)列1/n,極限為0，上下極限均為0

而數(shù)列a.2n=1，a.2n+1=1/n,它的極限不存在，但是存在上下極限，上極限為1，下極限為0

總結(jié)求函數(shù)（數(shù)列）極限的方法

求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式：

　　★抽象數(shù)列求極限

　　這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。

　　★求具體數(shù)列的極限

　　a.可以參考以下幾種方法：

　　首先,用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進(jìn)而確定極限存在性；其次，通過遞推關(guān)系中取極限，解方程，

從而得到數(shù)列的極限值.。

　　b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限

　　如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限,此時再用洛必達(dá)法則求解。

　　★求n項(xiàng)和或n項(xiàng)積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：

　　a.利用特殊級數(shù)求和法

　　如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過錯位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過整理可以直接得出極限結(jié)果。

　　b.利用冪級數(shù)求和法

　　若可以找到這個級數(shù)所對應(yīng)的冪級數(shù)，則可以利用冪級數(shù)函數(shù)的方法把它所對應(yīng)的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。

　　c.利用定積分定義求極限

　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個因子,剩余的項(xiàng)可用一個通項(xiàng)表示，則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。

　　d.利用夾逼定理求極限

　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個因子，剩余的項(xiàng)不能用一個通項(xiàng)表示，但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。

　　e.求n項(xiàng)數(shù)列的積的極限，一般先取對數(shù)化為項(xiàng)和的形式，然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算。

怎樣求一個數(shù)列的極限

1.認(rèn)識數(shù)列極限的定義及性質(zhì)。即最終數(shù)列發(fā)展到第無限項(xiàng)的時候，數(shù)列的數(shù)值是歸于一個固定數(shù)的。

2.了解證明數(shù)列極限的基本方法。主要是通過數(shù)列的子數(shù)列進(jìn)行證明。

3.學(xué)習(xí)例題，看題干解問題。主要看數(shù)列的定義和相關(guān)關(guān)于數(shù)列的題設(shè)

4.利用定義來證明數(shù)列的極限。注意！只能利用定義來進(jìn)行求取和證明，不可通過性質(zhì)。

5.檢查解答過程，發(fā)現(xiàn)解題過程中的問題進(jìn)行修改。保證問題解決！

數(shù)列極限定義

設(shè){Xn}為實(shí)數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有∣Xn-a∣<ε則稱數(shù)列{Xn}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{Xn}的極限，并或Xn→a(n→∞)

讀作"當(dāng)n趨于無窮大時，{Xn}的極限等于或趨于a".

若數(shù)列{Xn}沒有極限，則稱{Xn}不收斂，或稱{Xn}為發(fā)散數(shù)列.

該定義常稱為數(shù)列極限的ε-N定義.

對于收斂數(shù)列有以下兩個基本性質(zhì)，即收斂數(shù)列的唯一性和有界性。

定理1:如果數(shù)列{Xn}收斂，則其極限是唯一的。

定理2:如果數(shù)列{Xn}收斂，則其一定是有界的。即對于一切n(n=1,2……)，總可以找到一個正數(shù)M，使|Xn|≤M。

怎么求一個數(shù)列的極限點(diǎn)?

1、泰勒公式

(含有e的x次方的時候

，尤其是含有正余旋

的加減的時候要

特變注意

?。。。。?/p>

2、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則

最大項(xiàng)除分子分母?。。。。。。。。。。?/p>

看上去復(fù)雜處理很簡單

?。。。。。。。。?！

3、無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時候，

尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù)

可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了?。?！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式

，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）

（q絕對值符號要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加

（來消掉中間的大多數(shù)）

（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）

例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，

已知Xn的極限存在的情況下，

xn的極限與xn+1的極限時一樣的

，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化

10

2

個重要極限的應(yīng)用。

這兩個很重要

?。。。?！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值

。

地2個就如果x趨近無窮大

無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個實(shí)際上是

用于

函數(shù)是1的無窮的形式

）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1

的時候要特別注意可能是用地2

個重要極限）

11

還有個方法

，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。。。。。。。。?！

x的x次方

快于

x！

快于

指數(shù)函數(shù)

快于

冪數(shù)函數(shù)

快于

對數(shù)函數(shù)

（畫圖也能看出速率的快慢）

!!!!!!

當(dāng)x趨近無窮的時候

他們的比值的極限一眼就能看出來了

12

換元法

是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，

但是換元會夾雜其中

13假如要算的話

四則運(yùn)算法則也算一種方法

，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對付數(shù)列極限的一種方法，

就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法

走投無路的時候可以考慮

轉(zhuǎn)化為定積分。

一般是從0到1的形式

。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用

證明單調(diào)性！?。。。。?/p>

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限

，

（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，

看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候

f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候

就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。。。?/p>

數(shù)列的極限怎么求?如圖

1、如果代入后，得到一個具體的數(shù)字，就是極限；

2、如果代入后，得到的是無窮大，答案就是極限不存在；

3、如果代入后，無法確定是具體數(shù)或是無窮大，就是不定式類型。

例如；

L =lim(n->∞)∑(i:1->n) [ ( sin(iπbai/n))/(n+1) ]

S = sin(π/n) + sin(2π/n)+...+ sin(nπ/n)

2cos(π/n) . S = 2sin(π/n).cos(π/n) + 2sin(2π/n).cos(π/n)+...+ 2sin(nπ/n).cos(π/n)

= [sin(2π/n)+sin0] +[sin(2π/n)+sin(π/n)]+...+[sin((n+1)π/n)+sin((n-1)π/n)]

= sin0 + sin((n+1)π/n)+ 2S -sin(π/n) - sin(nπ/n)

2(cos(π/n)+1)S = sin((n+1)π/n) -sin(π/n)

= 2cos[(n+2)π/(2n)]sin(π/2)

=2cos[(n+2)π/(2n)]

=2cos(π/2+π/n)

S =cos(π/2+π/n) / (cos(π/n)+1)

L =lim(n->∞)∑(i:1->n) [ ( sin(iπ/n))/(n+1) ]

= lim(n->∞) S/(n+1)

= lim(n->∞) cos(π/2+π/n) / [(n+1)(cos(π/n)+1)]

=0

擴(kuò)展資料：

又因?yàn)棣攀侨我庑〉恼龜?shù)，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正數(shù)范圍，因此可用它們的數(shù)值近似代替ε。同時，正由于ε是任意小的正數(shù)，我們可以限定ε小于一個某一個確定的正數(shù)。

N的相應(yīng)性　一般來說，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強(qiáng)調(diào)N對ε的變化而變化的依賴性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

參考資料來源：百度百科-極限