什么叫做正交化 對(duì)角化 矩陣的正交化求解方法

相似對(duì)角化與相似正交對(duì)角化(其他不變)得到的對(duì)角矩陣是否是同一個(gè)對(duì)角矩陣 (是否只與A本身特征值有關(guān)，請(qǐng)問(wèn)矩陣的對(duì)角化和正交化分別用在哪里？（即解什么類(lèi)型的題）謝謝？高等代數(shù)的問(wèn)題，關(guān)于正交化，對(duì)角化，對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化中，將基礎(chǔ)解系正交化單位化的意義何在，什么是正交對(duì)角化？用正交變換化簡(jiǎn)二次型與正交相似對(duì)角化有什么區(qū)別？

本文導(dǎo)航

• 怎么判斷矩陣能不能相似對(duì)角化
• 矩陣對(duì)角化和原矩陣什么關(guān)系
• 矩陣的正交化求解方法
• 秩和對(duì)角化有什么關(guān)系
• 對(duì)角化和相似對(duì)角化有區(qū)別嗎
• 正交變換求二次型的步驟

怎么判斷矩陣能不能相似對(duì)角化

相似正交對(duì)角化的本質(zhì)就是相似對(duì)角化，它只是把相似對(duì)角化的變換矩陣中包含的特征向量單位化及正交化了而已。

如果A能對(duì)角化其對(duì)角相似矩陣一定是其特征值在對(duì)角線(xiàn)上排布組成的矩陣。不同的只是順序不同沒(méi)有本質(zhì)差別。

相似的一個(gè)重要充分條件就是兩個(gè)矩陣特征值相同。

兩個(gè)矩陣特征值對(duì)應(yīng)成比例是不相似的。根據(jù)定義兩邊再取行列式顯然不成立。

矩陣對(duì)角化和原矩陣什么關(guān)系

其實(shí)計(jì)算題居多，像計(jì)算題，你按要求做就行。一般期末考試證明題也就對(duì)角化就夠了，像考研一般用正交化的多，我建議你去看看錢(qián)吉林的高等代數(shù)解題精粹，那上面例題很經(jīng)典。

矩陣的正交化求解方法

問(wèn)題問(wèn)錯(cuò)了吧？應(yīng)該是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣吧？

秩和對(duì)角化有什么關(guān)系

因?yàn)閷?duì)角化是指diag(入...)=P^-1AP，實(shí)二次型要求的是P^TAP=diag(...)，所以只有P^-1=P^T時(shí)，P^TAP=diag(入...)，而只有正交矩陣才滿(mǎn)足這個(gè)條件。

對(duì)角化和相似對(duì)角化有區(qū)別嗎

將對(duì)稱(chēng)矩陣正交對(duì)角化的方法：

1. 求出對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值；

2. 由（AE ）x= 0 ，求出矩陣A對(duì)應(yīng)的特征的特征向量；

3. 將屬于的特征向量施密特正交化；

4. 將所有特征向量單位化。

正交變換求二次型的步驟

n元二次型化標(biāo)準(zhǔn)形，具體解題步驟：

1、寫(xiě)出二次型矩陣A

2、求矩陣A的特征值（λ1，λ2，...，λn）

3、求矩陣A的特征向量（α1，α2，...，αn）

4、改造特征向量(單位化、Schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn

5、構(gòu)造正交矩陣P=(γ1，γ2，...，γn)

則經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換x=Py，得

xTAx=yTBy=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2

相似對(duì)角化，具體解題步驟：

1、求矩陣A的特征值 （λ1，λ2，...，λs，設(shè)λi是ni重根）

2、求矩陣A的每一個(gè)特征值λi，求(λiE-A)x=0的基礎(chǔ)解系（設(shè)為Xi1，Xi2，...，Xini）

（上面兩步來(lái)判斷A是否可以對(duì)角化）

3、構(gòu)造P=(X11，X12，...，X1n1，X21，X22，...，X2n2，...，Xs1，Xs2，...，Xsns)，則

P-1AP=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)

其中有ni個(gè)λi（i=1，2，...，s）

顯然易知二者的區(qū)別。

都是先求特征值，再特征向量。

正交變換，需要改造特征向量，使其滿(mǎn)足正交化的特征。

相似對(duì)角化可以直接用特征向量，對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似的正交矩陣，則過(guò)程一樣。

實(shí)際上二次型是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ！??！

二次型的正交化就是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣用正交矩陣把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣的過(guò)程。

它是一種特殊矩陣的相似化過(guò)程。

newmanhero 2015年6月12日22:07:56

希望對(duì)你有所幫助，望采納。