1 n 1為什么是發(fā)散 2n-1是發(fā)散還是收斂

1/n為什么是發(fā)散，而(1/n)3/2是收斂的？級(jí)數(shù)1/（n+1）收斂還是發(fā)散？為什么？1/n為什么是發(fā)散的？為什么級(jí)數(shù)1/n+1發(fā)散？n分之一為什么是發(fā)散的？

本文導(dǎo)航

• 2n-1是發(fā)散還是收斂
• 級(jí)數(shù)根號(hào)n分之一收斂還是發(fā)散
• 為什么級(jí)數(shù)1n是發(fā)散的
• 級(jí)數(shù)nlnn分之一為什么是發(fā)散的
• n分之一的級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散

2n-1是發(fā)散還是收斂

答：可以用反證法來證。假設(shè)它收斂，它的部分和Sn趨于S，那么，它的部分和S2n也趨于S，所以S2n-Sn=0（當(dāng)n趨于無窮時(shí)）。但S2n-Sn=1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>n*1/2n=1/2,因此S2n-Sn不趨向于零（當(dāng)n趨于無窮時(shí)），這與假設(shè)矛盾，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。

級(jí)數(shù)根號(hào)n分之一收斂還是發(fā)散

發(fā)散，因?yàn)樗?/n等價(jià)，lim（1/n）/ [1/(n+1)] = 1 （n趨近于∞時(shí)），所以它們的斂散性一致。

又因?yàn)?/n發(fā)散，所以1/(n+1)也發(fā)散。

收斂級(jí)數(shù)映射到它的和的函數(shù)是線性的，從而根據(jù)哈恩-巴拿赫定理可以推出，這個(gè)函數(shù)能擴(kuò)張成可和任意部分和有界的級(jí)數(shù)的可和法，并且也由于這種算子的存在性證明訴諸于選擇公理或它的等價(jià)形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構(gòu)造的。

1/n發(fā)散的原因：

0<∑1/n2<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收斂。

至于∑1/n.考慮函數(shù)ln(1+x) - x，其導(dǎo)數(shù)為1/(1+x) -1。

當(dāng)x恒大于0時(shí)，導(dǎo)數(shù)恒小于0，當(dāng)x=0時(shí)，ln(1+x)-x =0，

當(dāng)x>0時(shí)，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。

1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很顯然不收斂。

1/(n*n)收斂的原因：

可以用1/x*x的積分放大估計(jì)，也可以用按2的k次方集項(xiàng)估計(jì)：

第一項(xiàng)等于1，第二第三項(xiàng)之和小于1/2(小于兩個(gè)1/2的平方，第4項(xiàng)到第7項(xiàng)之和小于1/4(四個(gè)1/4平方之和），第8項(xiàng)到第15項(xiàng)之和小于1/8(八個(gè)1/8平方之和.）

總之，小于收斂的公比為1/2的等比級(jí)數(shù)，所以收斂。

為什么級(jí)數(shù)1n是發(fā)散的

答：可以用反證法來證。

假設(shè)它收斂，它的部分和Sn趨于S，那么，它的部分和S2n也趨于S，

所以S2n-Sn=0（當(dāng)n趨于無窮時(shí)）。但S2n-Sn=1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>n*1/2n=1/2,因此S2n-Sn不趨向于零（當(dāng)n趨于無窮時(shí)），這與假設(shè)矛盾，

所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。

級(jí)數(shù)nlnn分之一為什么是發(fā)散的

簡(jiǎn)單計(jì)算一下就行，答案如圖所示

n分之一的級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散

因?yàn)槭諗坑?，求和是發(fā)散。

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的級(jí)數(shù)稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，它是 p=1 的p級(jí)數(shù)。 調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù)。在n趨于無窮時(shí)其部分和沒有極限（或部分和為無窮大）。

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...。

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...。

注意后一個(gè)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)都小于調(diào)和級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)，而且后面級(jí)數(shù)的括號(hào)中的數(shù)值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個(gè)，所以后一個(gè)級(jí)數(shù)是趨向無窮大的，進(jìn)而調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。

級(jí)數(shù)的和。

柯西對(duì)級(jí)數(shù)a0+a1+ ...的和的經(jīng)典定義為部分和序列a0+ ... +an的極限。通過兩個(gè)實(shí)數(shù)之間加法運(yùn)算的定義，再依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，不難自然地定義出有限個(gè)實(shí)數(shù)間的加法。

但是有限個(gè)實(shí)數(shù)間的加法有定義并不意味著我們能直接地導(dǎo)出級(jí)數(shù)的和的定義，因?yàn)榇藭r(shí)我們并沒有定義無限項(xiàng)相加的概念，只有借助極限進(jìn)行額外定義才能明確級(jí)數(shù)的和的概念。