怎么理解曲面積分 第二類曲面積分是什么?
請教高人講解曲線積分和曲面積分(第一類第二類都要,關(guān)于曲線曲面積分的學(xué)習(xí)方法,第二類曲面積分,∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解,對應(yīng)的最后結(jié)果正負,不明白原理?曲面積分跟二重積分意義有什么不同?第二類曲面積分是什么?
本文導(dǎo)航
- 請教高人講解曲線積分和曲面積分(第一類第二類都要)
- 兩類曲線積分計算方法
- 第二類曲面積分,∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解,對應(yīng)的最后結(jié)果正負,不明白原理
- 曲面積分跟二重積分意義有什么不同?
- 第二類曲面積分是什么?
請教高人講解曲線積分和曲面積分(第一類第二類都要)
哥們給你都說了吧:
第一類曲線積分,可以通過將ds轉(zhuǎn)化為dx或dt變成定積分來做,但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關(guān)系,只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲線積分后,要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件,可以用公式轉(zhuǎn)化為簡單的曲面積分,再將曲面積分投影到坐標(biāo)面上轉(zhuǎn)化為二重積分來計算,這是第一類曲線積分和二重積分關(guān)系,但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關(guān)系……
第一類曲面積分,可以通過公式變換,將dS轉(zhuǎn)化為dxdy,直接轉(zhuǎn)化為二重積分來做,但是和三重積分沒有任何關(guān)系,只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分,滿足了高斯公式條件,才能用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分來計算
曲線積分與定積分,曲面積分與二重積分的區(qū)別:曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式,意思是在曲線上或曲面上進行積分的,而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標(biāo)上進行積分,所以要將第一類曲線積分,第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標(biāo)進行積分,另外既然給定了曲線或曲面方程,就可以根據(jù)方程把一個量表示成其他的兩個量的關(guān)系,因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的,所以要滿足給定的曲線或曲面的方程,所以各個量之間可以代換的,這個普通的定積分和二重積分不能這么做的……
第一類曲線積分:對線段的曲線積分,有積分順序,下限永遠小于上限……求解時米有第二類曲線積分簡單,需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式,進行積分,這個公式書里面有的,就是對參數(shù)求導(dǎo),然后再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分:對坐標(biāo)的曲線積分,沒有積分順序,意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關(guān)系:可以用余弦進行代換,余弦值指的是線段的切向量,這個書本里面的,我就不寫了
第一類曲面積分:對面積的曲面積分,求解時要通過給定的曲面方程形式,轉(zhuǎn)化成x與y的形式,這個公式書里面也有的,就是求偏導(dǎo)吧?然后表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分:對坐標(biāo)的曲線積分,這個簡單一些,好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯(lián)系:可以用余弦代換,但是這個余弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯(lián)系,方便你記憶:都是要轉(zhuǎn)化成在xyz坐標(biāo)面上的積分,都是平方和的根式形式,但是第一類曲線積分是對參數(shù)求導(dǎo),第一類曲面積分是求偏導(dǎo),為何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直線代替曲線,相當(dāng)于正方體求對角線,你想想是不是,肯定要出現(xiàn)平方和的根式,你好好看看推導(dǎo)過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關(guān)系:
第二類曲線積分如果封閉的話,可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話,可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的,你要學(xué)會對應(yīng)的記憶啊……
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分來做,但是要注意正方向的選取,以及平面單連通和平面復(fù)連通,有時需要取輔助線構(gòu)成封閉曲線的,但是要計算輔助曲線的曲線積分,因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加后產(chǎn)生的,這個很重要,因為積分與路徑無關(guān)都要涉及到平面復(fù)連通和單連通的計算……
兩類曲線積分計算方法
從概念上講,第一類的,都是和方向無關(guān)的,對標(biāo)量的積分。第二類的,都是和方向有關(guān)的,對某種意義上的矢量的積分。具體地說:第一類曲線積分是對長度的積分,第二類曲線積分是對坐標(biāo)的積分,講究曲線上演某方向的變化了。第一類區(qū)面積分,是對面積的積分,第二類區(qū)面積分是對二維坐標(biāo)的積分,強調(diào)面積朝向某側(cè)的情況。 從計算上講,第一類的計算要求出長度或者面積微元的表示式,因此計算公式似乎復(fù)雜,但是記住公式之后,因為不用考慮方向,因此實際上簡單。第二類的,不用考慮微元的表示式,直接就是對坐標(biāo)積分,形式上簡單,不過,在具體到某個線或者面的時候,要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段,在每個方向一致的小段上,還要考慮正負號,是否為零等等,實際上相對麻煩許多。 關(guān)于這兩類積分(實際上是四類,不過我的稱呼是分別針對面,線來說)實際上都有統(tǒng)一的公式。兩類曲線積分可以通過方向余弦實現(xiàn)統(tǒng)一。兩類區(qū)面積分可以通過切面的法向量方向余弦實現(xiàn)統(tǒng)一。 此處的學(xué)習(xí)重點除了上述內(nèi)容之外,要特別注意 格林公式,高斯公式,斯托克斯公式,拉普拉斯算子,拉普拉斯反算子。這些在某些專業(yè)中應(yīng)用更廣泛。
第二類曲面積分,∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解,對應(yīng)的最后結(jié)果正負,不明白原理
第二類曲面積分。
如果曲面的外法向和對應(yīng)坐標(biāo)軸的正向一致,則第二類曲面積分轉(zhuǎn)為重積分時取正號,否則負號。
具體到圖中問題,由積分微元dxdy可知需要考察的是與z軸正向的關(guān)系(同理,∫∫dydz則考慮與x軸正向的關(guān)系),題中指明曲面是下側(cè),其法向如圖中向下箭頭所示,顯然與z的正方向相反,于是結(jié)果取負號。
擴展資料:
第一型曲面積分物理意義來源于對給定密度函數(shù)的空間曲面,計算該曲面的質(zhì)量。第二型曲面積分物理意義來源對于給定的空間曲面和流體的流速,計算單位時間流經(jīng)曲面的總流量。
當(dāng)動線作不規(guī)則運動時,形成的曲面稱為不規(guī)則曲面。形成曲面的母線可以是直線,也可以是曲線。
同一個曲面可能由幾種不同的運動形式形成。如圓柱面,即可以看做是直線繞著與之平行的軸線做旋轉(zhuǎn)運動而成,也可以看做是一個圓沿軸向平移而形成的。
參考資料來源:百度百科--曲面積分
曲面積分跟二重積分意義有什么不同?
曲面積分跟二重積分意義有什么不同,二重積分的積分區(qū)域是二維的平面,第一類曲面積分的積分區(qū)域是三維的曲面。升維or降維的區(qū)別。第二類曲面積分再加上方向。
補充: 類比 定積分積分區(qū)域是二維曲線,而第一類曲線積分積分區(qū)域是三維曲線,也是升維or降維的區(qū)別。
這就導(dǎo)致了第一類曲線積分的計算是將其轉(zhuǎn)化為定積分計算,而第一類曲面積分的計算是將其轉(zhuǎn)化為二重積分計算。第一類的都沒有方向,第二類曲線積分和第二類曲面積分引入了方向,有了方向,則在計算中硬鋼的話會比較繁瑣,所以第二類積分我們引入了無所不能的。
格林公式:將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分計算。高斯公式:將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分計算。
總結(jié):所以升維or降維這對逆的關(guān)系是相當(dāng)厲害的,就好像加or減、乘or除、微分or積分、AorA^–1 甚至你可以理解為一種可逆的變換,以后無論是支持向量機的分類還是預(yù)測,降維都是灰常牛的存在。因為降維本身就是復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的標(biāo)準(zhǔn)方法,什么?你竟然不信!那你肯定沒聽過 底層工作者歌者哼著小曲,不經(jīng)意的向太陽系扔了一張二向箔,然后然后 ah。太陽系就被拍扁降維了。
第二類曲面積分是什么?
第二類曲面積分是:注意第二類曲面積分向重積分轉(zhuǎn)換過程中曲面的“側(cè)”的影響:前側(cè)為正后側(cè)為負。
以(z^2-x)dzdx為例, 這實際上可以歸納為第二類曲面積分的一個性質(zhì): 如果積分曲面關(guān)于坐標(biāo)面x=0(即YOZ平面)對稱,而被積函數(shù)為關(guān)于x的偶函數(shù),則該第二類曲面積。
告訴一根線的線密度,問你線的質(zhì)量,就要用一類.告訴路徑曲線方程,告訴你x,y兩個方向的力,求功,就用二類,二類曲線也可以把x,y分開,這樣就不難理解一二類曲線積分之間的關(guān)系了,它們之間就差一個余弦比例。
單葉雙曲回轉(zhuǎn)面:
由一直線繞一根與它成交叉位置的軸線旋轉(zhuǎn)而成的回轉(zhuǎn)曲面,稱為單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。其母線上距離軸線最近的一點回轉(zhuǎn)形成的最小圓稱為喉圓。用包含軸線的平面截切單葉雙曲回轉(zhuǎn)面,其截交線的形狀為雙曲線,因此,單葉雙曲回轉(zhuǎn)面也可看作是以雙曲線為母線繞它的虛軸回轉(zhuǎn)而成的。
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