為什么數(shù)列的界不等于極限 為什么要證明極限存在

單調(diào)有界數(shù)列必有極限 為什么極限不等于它的界？單調(diào)遞增數(shù)列的上界為何不是極限？？？高等數(shù)學中界與極限到底是什么關系？為什么說數(shù)列是有界數(shù)列,但數(shù)列不一定有極限？為什么有極限就一定有界？有界不一定有極限？

本文導航

• 數(shù)列的有界和數(shù)列的極限的區(qū)分
• 單調(diào)有界數(shù)列必有極限怎么理解
• 高等數(shù)學證明極限存在的方法
• 數(shù)列有極限和數(shù)列收斂的關系
• 為什么要證明極限存在

數(shù)列的有界和數(shù)列的極限的區(qū)分

只證明單增的情況

已知Xn<M，M>0，設極限為A。

求證：A<=M

證明：假設A>M

A-M<|Xn-A|

由于ε是任意給定，所以我們給定ε<A-M，但是|Xn-A|<ε對于任意ε成立，故而矛盾。

因此M>=A。

單減同理

最后A<M時，因為任意給定ε，都能使|Xn-A|<ε成立，這是顯然的，這樣就保證極限成立了。但是我們無法證明A=M，因為M>A時極限也存在，所以極限不一定就是邊界。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限怎么理解

你自己好好翻翻書，一個單調(diào)數(shù)列的上界（如果有的話）有無數(shù)個，你說說哪個是它的極限呢？

只有最小的那個上界才是它的極限。

比如(1+1/n)^n，你可以說e是它的上界，你也可以說3是它的上界，但是它的極限是e，而不是3。

高等數(shù)學證明極限存在的方法

對于數(shù)列來說，極限存在，則一定有界；但有界不一定極限存在，，，

數(shù)列有極限和數(shù)列收斂的關系

收斂的數(shù)列必有界,有界的數(shù)列不一定收斂.如果數(shù)列不僅有界,而且是單調(diào)的,則其極限必定存在

為什么要證明極限存在

1、有極限就一定有界

回憶極限定義，任取ε>0，存在N>0，當n>N時，有|xn-a|<ε

證：設數(shù)列{xn}的極限a，則由極限定義，對于ε=1，存在N>0，當n>N時，（N是個有限數(shù)）

有|xn-a|<1，則

|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|

取M=max{

|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|

}

則我們會發(fā)現(xiàn)，所有的

|xn|<M，（因為M=max{

|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|

}，因此M比數(shù)列中前N個數(shù)的絕對值都要大，當n>N后，所有的

|xn|

均小于1+|a|≤M）

因此{xn}有界。

2、有界不一定有極限

比如：f(x)=sinx,在R上有界，但是x趨近于無窮是沒有極限。

極限思想是微積分的基本思想，是數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)（為0得到極大值）以及定積分等等都是借助于極限來定義的。

擴展資料

極限的思想方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終?？梢哉f數(shù)學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。

在幾乎所有的數(shù)學分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：

（1）函數(shù)在

點連續(xù)的定義，是當自變量的增量趨于零時，函數(shù)值的增量趨于零的極限。

（2）函數(shù)在

點導數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量

與自變量的增量

之比

，當

時的極限。

（3）函數(shù)在

點上的定積分的定義，是當分割的細度趨于零時，積分和式的極限。

（4）數(shù)項級數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列

的極限來定義的。

（5）廣義積分是定積分其中

為，任意大于

的實數(shù)當

時的極限，等等。