滿秩線性變換是什么 線性代數(shù)矩陣乘法為什么這樣算

什么叫滿秩線性變換？什么叫滿秩線性變換？線性代數(shù)，為什么矩陣滿秩，他就一定可逆？滿秩是什么意思？二次型經(jīng)可逆線性變換和正交線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型有什么區(qū)別？可逆線性變換的解釋是什么？

本文導(dǎo)航

• 線性變換的六大特征
• 線性變換滿足的條件
• 線性代數(shù)矩陣乘法為什么這樣算
• 滿秩和降秩含義
• 二次型經(jīng)過正交變換后相似嗎
• 可逆變換怎么求

線性變換的六大特征

應(yīng)該就是可你線性變換吧

即線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣是滿秩的

線性變換滿足的條件

變換矩陣是滿秩的，或者是可逆的。

線性代數(shù)矩陣乘法為什么這樣算

這是因?yàn)?，方陣滿秩時(shí)，可以使用初等行變換，化成單位矩陣（相當(dāng)于使用一系列初等矩陣左乘矩陣，得到單位矩陣），從而可逆。

矩陣非零子式的最高階數(shù)叫做矩陣的秩。滿秩說明整個(gè)矩陣的行列式不為零，所以可逆。

n階可逆矩陣，行列式不為0，各列向量線性無關(guān)，

各列向量的秩是n， 即矩陣的秩是n， 矩陣滿秩。

可逆陣的行列式不為0，而矩陣的秩則是非零子式的最高階數(shù)，故可逆陣是滿秩的。此結(jié)論的理解重點(diǎn)在掌握可逆陣的性質(zhì)、矩陣秩的概念及子式的概念。

從線性變換角度講，逆矩陣可理解為原矩陣的反向變換，比如一個(gè)向量被順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，逆矩陣可將其逆時(shí)針還原90度。

滿秩和降秩含義

滿秩矩陣：設(shè)A是n階矩陣, 若r（A） = n, 則稱A為滿秩矩陣。滿秩矩陣是一個(gè)很重要的概念, 它是判斷一個(gè)矩陣是否可逆的充分必要條件。

方陣的滿秩，和方陣可逆，和方陣的行列式不等于零，和組成方陣的各個(gè)列向量線性無關(guān)，和齊次方程組只有零解，這些都是等價(jià)的。

滿秩矩陣還有一個(gè)好處，就是它不改變和它相乘的矩陣的秩。因?yàn)闈M秩矩陣代表著基向量張成的空間維數(shù)不變。所以一旦一個(gè)矩陣P是滿秩的，那么就有：r(PA)=r(A)。

但是如果說矩陣P不是滿秩的，也就意味著P代表著壓縮空間維度的變換。這種情況可能是因?yàn)椴皇欠疥?，也可能是因?yàn)榉结樀男辛惺綖?。那么這種情況下，那么一個(gè)矩陣A與P相乘的結(jié)果，會(huì)造成秩的降低。

擴(kuò)展資料

所有r+1階子式

（如果有r+1階子式的話）

稱A的秩為r，記作R（A)=r。規(guī)定：R（O)=0.

對(duì)

若R（A)=m，稱A為行滿秩矩陣；

若R（A)=n，稱A為列滿秩矩陣。

對(duì)

若R（A)=n，稱A為滿秩矩陣（可逆矩陣，非奇異矩陣）；

若R（A)<n，稱A為降秩矩陣（不可逆矩陣，奇異矩陣）。

滿秩矩陣是一個(gè)很重要的概念, 它是判斷一個(gè)矩陣是否可逆的充分必要條件。

參考資料來源：百度百科-滿秩

二次型經(jīng)過正交變換后相似嗎

對(duì)二次型的矩陣而言,區(qū)別為一個(gè)是相似，一個(gè)正交相似(此時(shí)變換也是合同變換)，標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)都是特征值。

可逆變換可以在很大程度上保留原有的信息；

比如二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y(jié)^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性質(zhì)之后，還可以通過Y=C^{-1}X再變回去分析原問題的性質(zhì)，如果隨意用不可逆變換，那么取C=0就行了，所有標(biāo)準(zhǔn)型都是0，沒有任何價(jià)值。

擴(kuò)展資料：

可逆線性變換或滿秩線性變換，是一種特殊的線性變換，設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，σ是V的線性變換，若存在V的變換τ，使στ=τσ=I，其中I為單位變換；

則σ稱為可逆線性變換，τ稱為σ的逆變換，V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換，且是惟一的，記為σ-1。線性空間的可逆線性變換的集合，對(duì)于變換的乘法構(gòu)成乘法群，稱為非奇異線性變換群。

參考資料來源：百度百科-可逆線性變換

可逆變換怎么求

可逆線性變換亦稱非退化線性變換，或滿秩線性變換，是一種特殊的線性變換，設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，σ是V的線性變換，若存在V的變換τ，使στ＝τσ＝I，其中I為單位變換，則σ稱為可逆線性變換，τ稱為σ的逆變換，V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換，且是惟一的，記為σ。

因?yàn)椋麬| = 1≠0,故A可逆．而f不是可逆線性變換所以B不可逆．所以｜B| = 0即｜B| = a = 0。

逆變換我用S表示：S(1)=1，S(1+x)=x，S(1+x+x^2)=x^2，即S(1)=1，S(x)=S(1+x)--S(1)=x--1，S(x^2)=S(1+x+x^2)--S(1)--S(x)=x^2--1--(x--1)=x^2--x。

可逆線性變換中的可逆說明這個(gè)線性變換是一個(gè)一一映射。

可逆變換可以在很大程度上保留原有的信息比如二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y(jié)^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性質(zhì)之后。

還可以通過Y=C^{-1}X再變回去分析原問題的性質(zhì)如果隨意用不可逆變換，那么取C=0就行了，所有標(biāo)準(zhǔn)型都是0，沒有任何價(jià)值如果不可逆的話（例如零矩陣變換），無法保證變換成標(biāo)準(zhǔn)型（此時(shí)即使變換成標(biāo)準(zhǔn)型，也不能保證唯一。）。