等價(jià)無(wú)窮小 怎么用 等價(jià)無(wú)窮小的使用條件是什么？

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本文導(dǎo)航

• 高等數(shù)學(xué)等價(jià)無(wú)窮小的幾個(gè)常用公式
• 等價(jià)無(wú)窮小代換的條件是什么
• 等價(jià)無(wú)窮小的使用
• 等價(jià)無(wú)窮小的使用條件是什么？
• 等價(jià)無(wú)窮小是怎么開(kāi)的
• 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小使用條件問(wèn)題?

高等數(shù)學(xué)等價(jià)無(wú)窮小的幾個(gè)常用公式

當(dāng)x→0時(shí)， 　

　sinx~x 　

　tanx~x 　

　arcsinx~x 　　

arctanx~x 　　

1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1 　

（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) 　　

（e^x）-1~x 　

　ln(1+x)~x 　　

(1+Bx)^a-1~aBx 　　

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 　　

loga(1+x)~x/lna 　　

（1+x)^a-1~ax(a≠0) 　　

值得注意的是，等價(jià)無(wú)窮小一般只能在乘除中替換，

在加減中替換有時(shí)會(huì)出錯(cuò)（加減時(shí)可以整體代換，不能單獨(dú)代換或分別代換）

等價(jià)無(wú)窮小代換的條件是什么

條件：

1、被代換的量，在取極限的時(shí)候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時(shí)可以用等價(jià)無(wú)窮小代換，但是作為加減的元素時(shí)就不可以。

事實(shí)上，等價(jià)無(wú)窮小是由泰勒公式推導(dǎo)而來(lái)，所以運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小的結(jié)論就是，乘除可以整體換，而加減情況不能換，即使可以，那也是湊巧正確。下面給出什么情況下會(huì)“湊巧正確”。

使用等價(jià)無(wú)窮小有兩大原則：

1、乘除極限直接用。

2、加減極限時(shí)看分子分母階數(shù)。若使用等價(jià)無(wú)窮小后分子分母階數(shù)相同，則可用；若階數(shù)不同則不可用。

擴(kuò)展資料

無(wú)窮小等價(jià)替換定理

設(shè)函數(shù)f、g、h

在

內(nèi)有定義，且有

(1)若

則

(2)若

則

參考資料來(lái)源：百度百科-等價(jià)無(wú)窮小

等價(jià)無(wú)窮小的使用

因?yàn)槭切枰?/x*ln(x/ln(1+x))的極限，求不定時(shí)的極限時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小在加減法中不能使用，只能在乘除法中使用，分子分母的因子只能整體替換，不能局部替換。也就是說(shuō)ln(x/ln(1+x))只能作為一個(gè)整體替換。

等價(jià)無(wú)窮小的使用條件是什么？

條件：

1、被代換的量，在取極限的時(shí)候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時(shí)可以用等價(jià)無(wú)窮小代換，但是作為加減的元素時(shí)就不可以。

事實(shí)上，等價(jià)無(wú)窮小是由泰勒公式推導(dǎo)而來(lái)，所以運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小的結(jié)論就是，乘除可以整體換，而加減情況不能換，即使可以，那也是湊巧正確。下面給出什么情況下會(huì)“湊巧正確”。

使用等價(jià)無(wú)窮小有兩大原則：

1、乘除極限直接用。

2、加減極限時(shí)看分子分母階數(shù)。若使用等價(jià)無(wú)窮小后分子分母階數(shù)相同，則可用；若階數(shù)不同則不可用。

性質(zhì)

1、無(wú)窮小量不是一個(gè)數(shù)，它是一個(gè)變量。

2、零可以作為無(wú)窮小量的唯一一個(gè)常量。

3、無(wú)窮小量與自變量的趨勢(shì)相關(guān)。

4、有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍是無(wú)窮小量。

5、有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量。

等價(jià)無(wú)窮小是怎么開(kāi)的

1.等價(jià)的兩個(gè)無(wú)窮小之間的關(guān)系是“等價(jià)”而不是“相等”。所以，在不涉及極限運(yùn)算時(shí)，不能直接用一個(gè)無(wú)窮小代替另一個(gè)。例如：當(dāng)x－>0時(shí)，ln(1+ x)∽x，但

ln(1+ x)= x+ο(x).

當(dāng)討論在點(diǎn)0附近函數(shù)f(x)+ ln(1+ x)-x的性態(tài)時(shí)，有

f(x)+ ln(1+ x)-x= f(x)+x+ο(x)-x=f(x)+ο(x).

而不能是

f(x)+ ln(1+ x)-x=f(x)+x-x=f(x) ！

2.在計(jì)算有理函數(shù)（分式函數(shù)）的極限時(shí)，用無(wú)窮小替換需要注意：替換可以對(duì)分式的分子或分母的因子進(jìn)行；但當(dāng)分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般不能只對(duì)其中的某些項(xiàng)進(jìn)行無(wú)窮小替換，甚至對(duì)所有項(xiàng)分別替換都是不可以的！一個(gè)最典型的例子是：

求當(dāng)x－> 0，函數(shù)(tanx-sinx)/ x^3的極限時(shí)，如果用tanx~x、sinx~x分別替換函數(shù)分子的兩項(xiàng)，則由于分子變成x-x=0，導(dǎo)致整個(gè)函數(shù)的極限等于0.但事實(shí)上，經(jīng)過(guò)如下簡(jiǎn)單變形后

(tanx-sinx)/ x^3= sinx(1-cosx)/ x^3·cosx，

應(yīng)用無(wú)窮小替換sinx~x、1-cosx~x^2/2，容易求得最終極限是1/2 ！上面極限是0的錯(cuò)誤的出現(xiàn)就是因?yàn)殄e(cuò)誤地對(duì)分子的各項(xiàng)分別作了無(wú)窮小替換！

簡(jiǎn)而言之，“因子可替換，分項(xiàng)不可替換”！此處“因子”當(dāng)然可以是整個(gè)分子或分母。

關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小使用條件問(wèn)題?

求極限時(shí)使用等價(jià)無(wú)窮小的條件：被代換的量，在去極限的時(shí)候極限值為0。被代換的量，作為被乘或者被除的元素時(shí)可以用等價(jià)無(wú)窮小代換，但是作為加減的元素時(shí)就不可以。無(wú)窮小就是以數(shù)零為極限的變量。確切地說(shuō)，當(dāng)自變量x無(wú)限接近某個(gè)值x0(x0可以是0、∞、或是別的什么數(shù))時(shí)，函數(shù)值f(x)與零無(wú)限接近，即f(x)=0，則稱(chēng)f(x)為當(dāng)x→x0時(shí)的無(wú)窮小量。

數(shù)學(xué)：

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門(mén)學(xué)科。數(shù)學(xué)是人類(lèi)對(duì)事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的一種通用手段，可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的任何問(wèn)題，所有的數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)上都是人為定義的。從這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)屬于形式科學(xué)，而不是自然科學(xué)。不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有一系列的看法。