什么叫做二次型 二次型變標(biāo)準(zhǔn)型兩種方法總結(jié)

誰能用通俗的語言解釋一下什么是二次型？二次型的稚？正定二次型？誰能告訴我！二次型到底是什么！?。?！求大神幫助？正定二次型是什么？二次型函數(shù)什么意思 是否包括二次項系數(shù)為0的情況 help!!？二次型的規(guī)范型是什么？二次型的定義是什么？

本文導(dǎo)航

• 二次型的特征值有大小順序嗎
• 二次型函數(shù)有哪些
• 二次型正定性的判定視頻
• 二次函數(shù)判斷系數(shù)正確的方法
• 二次型怎么轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型
• 二次型變標(biāo)準(zhǔn)型兩種方法總結(jié)

二次型的特征值有大小順序嗎

f(x)是二次型，實際上就是多元二次齊次多項式

一般形式就是\sum_{i,j}a_{i,j}x_i x_j

這種n元的二次型可以在某種定義下于n階對稱矩陣形成一一對應(yīng)的關(guān)系

面二次型所對應(yīng)的這個n階對稱矩陣的秩就被稱為二次型的秩

如果二次型對于任意非零實向量x，都有f(x)>0，則稱之為正定的

二次型函數(shù)有哪些

二次型是用矩陣的形式去除多項式組當(dāng)中的耦合項用的，比如關(guān)于X,Y方程組，二次型用來去除耦合項xy,保留x^2和y^2項，是一種坐標(biāo)上的旋轉(zhuǎn)變換 查看原帖>>

二次型正定性的判定視頻

定義：設(shè)有實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)，都有f(x)＞0，則稱此二次型為正定二次型，并把其對稱矩陣A稱為正定矩陣.

正定二次型的判別方法:

a）：二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個系數(shù)都大于零，則其為正定；

b）：二次型的對稱矩陣A的n個特征值大于零，則其為正定；

c）：對稱矩陣A的各階順序主子式全大于零，則其為正定.

注：設(shè)A為n階方陣，則位于A的左上角的1階，2階，...，n階子式，

即：稱為A的各階順序主子式.

例1：判別二次型的正定性.

解：方法一：利用二次型的對稱矩陣的特征值來判斷.

先寫出二次型的矩陣:

由于:

可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0

故此二次型為正定二次型.

方法二：利用二次矩陣的各階順序主子式來判定.

由于此二次型的矩陣為:

因為它的個階順序主子式:＞0,＞0,＞0

故此二次型為正定二次型.

除了正定二次型外，還有其他類型的二次型。

定義：設(shè)有實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)，都有f(x)＜0，則稱此二次型為負(fù)定二次型，對稱矩陣A稱為負(fù)定矩陣；如果都有f(x)≥0，則稱此二次型為半正定二次型，并稱其矩陣為半正定矩陣；如果都有f(x)≤0，則稱此二次型為半負(fù)定二次型，并稱其矩陣為半負(fù)定矩陣。

二次函數(shù)判斷系數(shù)正確的方法

二次型函數(shù)是指：n個變量的二次多項式稱為二次型，即在一個多項式中，未知數(shù)的個數(shù)為任意多個，但每一項的次數(shù)都為2的多項式。線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，它起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問題的研究。二次型理論與域的特征有關(guān)。

不包括二次項系數(shù)為0的情況，二次函數(shù)的二次項一定不為0。

擴(kuò)展資料：

二次型也經(jīng)常用來提及二次空間，它是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以采用涉及六個變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標(biāo)。

二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。

二次形式總是生成對稱雙線性形式（通過極化恒等式），而反過來要求除以2。

二次型怎么轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型

由已知, 二次型的負(fù)慣性指數(shù)為 3-2=1；所以二次型的規(guī)范型是 y1^2 + y2^2 - y3^2。

在數(shù)學(xué)中，二次型是一些變量上的二次齊次多項式。是關(guān)于變量x和y的二次型。二次型在許多數(shù)學(xué)分支，包括數(shù)論、線性代數(shù)、群論(正交群)、微分幾何(黎曼測度)、微分拓?fù)?intersection forms of four-manifolds)和李代數(shù)(基靈型)中，占有核心地位。

任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。

術(shù)語二次型也經(jīng)常用來提及二次空間，它是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V → k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以采用涉及六個變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標(biāo)。

對稱雙線性形式：

在低層的域的特征不是2的時候，二次形式等價于對稱雙線性形式。

二次形式總是生成對稱雙線性形式（通過極化恒等式），而反過來要求除以2。

注意對于任何向量u ∈ V。2Q(u) = B(u,u)。

所以如果2在R中是可逆的（在R是一個域的時候這同于有不是2的特征），則我們可以從對稱雙線性形式B恢復(fù)二次形式，通過Q(u) = B(u,u)/2。

當(dāng)2是可逆的時候，這給出在V上的二次形式和V上的雙線性形式之間的一一映射。如果B是任何對稱雙線性形式，則B(u,u)總是二次形式。所以在2是可逆的時候，這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的，對稱雙線性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能寫為形式B（u,u）。

二次型變標(biāo)準(zhǔn)型兩種方法總結(jié)

正負(fù)慣性指數(shù)之和等于矩陣的秩用矩陣形式表示二次型的方法：

二次型f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz，用矩陣表示的時候，矩陣的元素與二次型系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為：A11=a，A22=b，A33=c，A12=A21=d/2，A13=A31=e/2，A23=A32=f/2。

二次型的定義：

設(shè)f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 這里是系數(shù)， 滿足aij=aji，則稱f為n元二次型。

在實數(shù)域中，根據(jù)慣性定理，每個對稱矩陣都合同于一個對角線上元素只由0和正負(fù)數(shù)構(gòu)成的對角矩陣。如果設(shè)正數(shù)的個數(shù)是p，負(fù)數(shù)的個數(shù)是q，那么給定(p,q)后，就確定了一個關(guān)于合同關(guān)系的等價類。

數(shù)對(p,q)稱為一個對稱矩陣(或相應(yīng)二次型)的慣性指數(shù)，其中正數(shù)的個數(shù)p稱為正慣性指數(shù)， 負(fù)數(shù)的個數(shù)q稱為負(fù)慣性指數(shù)， p-q叫做符號差。據(jù)此可以得出:合同關(guān)系將所有的對稱矩陣分為 (n+2)*(n+1)/2個等價類。