為什么要學(xué)微分方程 常微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史

為什么描述各種客觀事物內(nèi)在規(guī)律最基本的數(shù)學(xué)工具就是微分方程？金融本科生和研究生需要學(xué)習(xí)《偏微分方程》嗎？學(xué)了之后有很大作用嗎？有必要學(xué)習(xí)嗎？《微分方程數(shù)值解》？數(shù)學(xué)中的常微分方程的歷史意義是什么，誰(shuí)能告訴我？微分有什么意義？什么是微分方程？學(xué)偏微分方程有什么用？

本文導(dǎo)航

• 高數(shù)微分方程解法歸納
• 偏微分經(jīng)典方程
• 常微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史
• 為什么有微分還要變分
• 常見(jiàn)的微分方程有哪些
• 偏微分方程一般理論的理解

高數(shù)微分方程解法歸納

首先回答你標(biāo)題里的問(wèn)題，這個(gè)是一個(gè)客觀事實(shí)而不是人為規(guī)定的，例如運(yùn)動(dòng)學(xué)，距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于速度，速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于加速度，那么如果要是研究一個(gè)物體的受力情況，我們又不可能觀測(cè)到加速度與時(shí)間的函數(shù)，也無(wú)法用一個(gè)代數(shù)方程來(lái)描述不同單位下的速度，距離，加速度這些量，怎么辦呢？最好的途徑就是微分方程，我們可以通過(guò)微分方程把加速度和可以測(cè)得的速度，距離等用不可以用代數(shù)方程描述的量表達(dá)在同一個(gè)方程內(nèi)研究。

然后回答你正文內(nèi)的問(wèn)題。要做一個(gè)控制系統(tǒng)或者信號(hào)處理系統(tǒng)，首要的前提是必須通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)模型模擬出來(lái)，而對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的要求就是必須是模型本身就包含微積分運(yùn)算的和數(shù)乘，加法運(yùn)算，這個(gè)要求是我們所處理信號(hào)的手段要求的。其次是必須易于實(shí)行，能處理一定范圍內(nèi)的待處理量，并且能方便的得到處理以后的數(shù)據(jù)，這個(gè)就是我們常說(shuō)的輸入輸出了。說(shuō)到這里這個(gè)數(shù)學(xué)模型的形式就很明顯了，那就是微分方程。

微分方程含有對(duì)于變量微分積分的運(yùn)算以及數(shù)乘加法，這點(diǎn)保證了數(shù)學(xué)模型可以方便的處理信號(hào)學(xué)和自動(dòng)化學(xué)的問(wèn)題；只需要讓t變化做為輸入，方程的解y(t)做為輸出就可以輕易得到處理結(jié)果，保證了最終產(chǎn)品可以很容易封裝到一個(gè)集成塊并且通過(guò)引腳來(lái)輸入輸出。

可以看出來(lái)，提問(wèn)的同學(xué)是電子或者通信本科的一名學(xué)生，由于你現(xiàn)在學(xué)習(xí)的微分方程多數(shù)情況下是已經(jīng)得到的數(shù)學(xué)模型，并且很多的使用拉氏變換下的微分方程，所以很難得到一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。如果想得到一個(gè)比較有深度的把握和直觀的理解的話，你可以讀一下常微分方程，現(xiàn)代控制理論，現(xiàn)代信號(hào)處理其中的任意一門學(xué)科的教科書，這三門學(xué)科應(yīng)該只需本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以很輕松的讀懂。

偏微分經(jīng)典方程

金融本科生和研究生要學(xué)習(xí)《偏微分方程》，而且相對(duì)來(lái)說(shuō)對(duì)經(jīng)濟(jì)類的本科生都要學(xué)習(xí)這門學(xué)科，其實(shí)這門學(xué)習(xí)對(duì)以后工作的幫助程度則要看你今后從事的職業(yè)而言，若果你是從事經(jīng)濟(jì)類的職業(yè)，那么還是有一點(diǎn)幫助的，至于幫助多大則看你自己的造化，因?yàn)槊總€(gè)人運(yùn)用知識(shí)的能力不一樣。而如果你想不學(xué)這門學(xué)科的話，在你考研的時(shí)候你可以選其他一些研究生的方向，如：法律。

常微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史

常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。

為什么有微分還要變分

一、積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒(méi)有用極限，是 “ 有限 ” 開(kāi)工的窮竭法。但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。

微分是聯(lián)系到對(duì)曲線作切線的問(wèn)題和函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。

二、過(guò)去一直分別研究的微分和積分，不是為了研究積分而先研究微分的。微積分的系統(tǒng)發(fā)展歸功于兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)----牛頓和萊布尼茲.這一系統(tǒng)成功地發(fā)現(xiàn):過(guò)去一直分別研究的微分和積分實(shí)際上是兩個(gè)互逆的運(yùn)算。因此他倆的關(guān)系后來(lái)才知道的。

以下是參考資料:

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。

早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國(guó)莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九間算術(shù)》作注時(shí)提出了 “ 割圓術(shù) ” ，用正多邊形來(lái)逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。

積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒(méi)有用極限，是 “ 有限 ” 開(kāi)工的窮竭法。但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。

微分是聯(lián)系到對(duì)曲線作切線的問(wèn)題和函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。

前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀(jì)下半葉各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分。

牛頓是那個(gè)時(shí)代的科學(xué)巨人。在他之前，已有了許多積累:哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說(shuō)，伽利略出版《力學(xué)對(duì)話》，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律--航海的需要，礦山的開(kāi)發(fā)，火松制造提出了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問(wèn)題，微積分在這樣的條件下誕生是必然的。1605 年 5 月 20 日，在牛頓手寫的一面文件中開(kāi)始有 “ 流數(shù)術(shù) ” 的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于 1665 - 1676 年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來(lái)著名的牛頓-萊而尼茨公式。

牛頓于 1642 年出生于一個(gè)貧窮的農(nóng)民家庭，艱苦的成長(zhǎng)環(huán)境造就了人類歷史上的一位偉大的科學(xué)天才，他對(duì)物理問(wèn)題的洞察力和他用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力，都是空前卓越的。盡管取得無(wú)數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德。

如果說(shuō)牛頓從力學(xué)導(dǎo)致 “ 流數(shù)術(shù) ” ，那萊布尼茨則是從幾何學(xué)上考察切線問(wèn)題得出微分法。他的第一篇論文刊登于 1684 年的《都是期刊》上，這比牛頓公開(kāi)發(fā)表微積分著作早 3 年，這篇文章給一階微分以明確的定義。

萊布尼茨 1646 年生于萊比錫。 15 歲進(jìn)入萊比錫大學(xué)攻讀法律，勤奮地學(xué)習(xí)各門科學(xué)，不到 20 歲就熟練地掌握了一般課本上的數(shù)學(xué)、哲學(xué)、神學(xué)和法學(xué)知識(shí)。萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)有超人的直覺(jué)，并且對(duì)于設(shè)計(jì)符號(hào)很第三。他的微積分符號(hào) “dx" 和 ”∫” 已被證明是很發(fā)用的。

牛頓和萊布尼茨總結(jié)了前人的工作，經(jīng)過(guò)各自獨(dú)立的研究，掌握了微分法和積分法，并洞悉了二者之間的聯(lián)系。因而將他們兩人并列為微積分的創(chuàng)始人是完全正確的，盡管牛頓的研究比萊布尼茨早 10 年，但論文的發(fā)表要晚 3 年，由于彼此都是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，曾經(jīng)長(zhǎng)期爭(zhēng)論誰(shuí)是最早的發(fā)明者就毫無(wú)意義。牛頓和萊尼茨的晚年就是在這場(chǎng)不幸的爭(zhēng)論中度過(guò)的。

常見(jiàn)的微分方程有哪些

微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。

微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過(guò)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€(gè)不同的面向，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡(jiǎn)單的微分方程可以求得解析解。不過(guò)即使沒(méi)有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。在無(wú)法求得解析解時(shí)，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來(lái)找到其數(shù)值解。動(dòng)力系統(tǒng)理論強(qiáng)調(diào)對(duì)于微分方程系統(tǒng)的量化分析，而許多數(shù)值方法可以計(jì)算微分方程的數(shù)值解，且有一定的準(zhǔn)確度。

偏微分方程一般理論的理解

偏微分方程理論研究一個(gè)方程（組）是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解（解的存在性），有多少個(gè)解（解的惟一性或自由度），解的各種性質(zhì)以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)自然現(xiàn)象以及把它用之于各門科學(xué)和工程技術(shù)。偏微分方程理論的形成和發(fā)展都與物理學(xué)和其他自然科學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)，并彼此促進(jìn)和推動(dòng)。其他數(shù)學(xué)分支，如分析學(xué)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等理論的發(fā)展也都給予偏微分方程以深刻的影響。